略算平均余命が生存確率の総和と一致することの証明をわかりやすく解説

この記事では、略算平均余命(Curtate Life Expectancy)が生存確率の総和と一致することを証明します。

記号の準備をします。

x歳の人の人口を、
lx
という記号で表記します。

x歳の人がk年生きる確率を、
kpx=lx+klx
という記号で表記します。

x歳の人が、x+t年目に死亡する確率を、
tqx=lx+klx+k1lx
という記号で表記します。

x歳の人の離散的な期待余命を次で定めます。
ex=k=1ktqx

命題:略算平均余命が生存確率

ex=k=1kpx
が成り立ちます。

このことは、実際簡単に確かめることができます。
ex=k=1ktqx=k=1k (lx+klx+k1lx)=k=1k (kpxk+1px)=(1px1+1px)+2(2px2+1px)+3(3px3+1px)+=1px+2px+3px+=k=1kpx
でるので、確認が終了しました。tail probabilityのトリックと同じです。

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