ELC再保険の超過損失データに基づくフィッシャー情報量
お久しぶり。AIが進化しすぎてこの日記を書く気がないです。 密度関数がパラメータ\(\theta\)をもつ\(f(x;\theta)\)に基づくロス\(X\)を考えます。ここで、ELC再保険を契約しており、受再者は、支払 […]
#経済学
137件の記事
需要が指数分布に従う市場の在庫最適化問題の解き方を解説！！
この記事では需要が指数分布に従う市場の在庫最適化問題の解き方を解説します。 ある財は、1個あたりのコストが\(c\)円で、市場価格は\(p\)円で売れるとします。市場における需要を確率変数\(D\)とし、\(D\)は平均 […]
ポアソン到着競争問題の有名問題である通勤競争問題の解き方をシンプルに解説！
いきなりだが、電車で、同僚とどちらが会社に早く着くかを競争することにする。自分と同僚は同じホームにいる。快速電車と普通電車がホームに到着する時間はそれぞれ、平均 […]
ワイブル分布のスケールパラメータの最尤推定量の求め方を解説！！
この記事ではワイブル分布のスケールパラメータ\(\theta\)の最尤推定の求め方を解説します。 まず定義ですが、パラメータ\(\theta, \tau\)のワイブル分布は、生存関数 […]
確率変数のランダムな個数の和の積率母関数の導出を解説
この記事では、確率変数のランダムな個数の和の確率変数の、積率母関数の導出を解説します。確率変数のランダムな個数の和というのは、「確率変数を何個足し合わせるか」自体もあるランダムな確率変数に従っていると言うことです。例えば […]
2階層線形回帰モデルのIntraclass Correlation Coefficient
ICC(群内相関係数, Intraclass Correlation Coefficient)は単に同じクラスの 次のような2階層のモデルを考えます。 […]
信頼性理論における全信頼基準の導出をわかりやすく解説
この記事では信頼性理論における全信頼基準の導出をわかりやすく解説します。 全信頼基準(full credibility standard)とは、サンプル平均が、真の平均値から誤差\(k\)(割合です)以内に入る確率が […]
ベイズの定理において事後分布がガンマ分布っぽいなと思った時にやるべきこと1選
この記事ではベイズの定理において事後分布がガンマ分布っぽいなと思った時にやるべきこと(?)を解説します。 ベイズの定理 […]
確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説
この記事では確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説します。確率変数\(X\)の生存関数は\begin{align*} S(x ) = P(X \geq x )\end{align*}により定義されます。 […]
Bühlmann信頼度をLMMSE推定量の観点から理解する
この記事では、Bühlmann信頼度をLMMSEの観点から理解します。LMMSEはLeast Minimum Mean Square Errorです。 次のような状況を考えます。ナイーブな書き方をしているので、読みながら […]
超指数分布のベイズ更新のやり方をわかりやすく解説！！
超指数分布のベイズ更新のやり方を解説します。超指数分布Hyperexponential distributionは、名前はまあサイヤ人みたいに強そうですが、定義はというと、単に指数分布の有限個の凸結合です。 パラメータを […]
推定量の一致性は「平均二乗誤差が収束するなら確率収束する」で確認した方が楽な時がある
推定量の一致性を確認するのは面倒くさいです。そこで、平均二乗誤差が\(0\)に収束することで一致性を確かめることにしましょう。よくある確認方法ですが、こっちの方が楽だったりします。 というのも、チェビシェフの不等式から\ […]
2つの独立なポアソン過程の競争問題をわかりやすく解説
2つの独立なポアソン過程の競争問題について解説します。2つの独立なポアソン過程\(\{A_t \}_t, \{B_t \}_t\)で強度がそれぞれ\(\lambda_a, \lambda_b\)であるものが存在するとしま […]
再保険関数空間上の最適化問題が2パラメータの最適化問題に退化する状況を解説
\(\mathcal{F}\)を再保険関数全体の集合 […]
幾何分布の最尤推定量の導出をわかりやすく解説
幾何分布\(Geom(p)\)のパラメータ\(p\)の最尤推定量(MLE)を\(\hat p\)で表記することにすると、 […]
マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法
マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法を考えまーす。 離散的な状態が\(k\)個存在する状況を考えます。状態間の遷移は、遷移確率行列が\begin{align} P \end{align}に従う […]
ポアソン分布の希薄化(Thinning)をわかりやすく解説！！
この記事ではポアソン分布の希薄化(Thinning)をわかりやすく解説します。ポアソン分布の希薄化とは、 二項分布とポアソン分布を混合し、二項分布の試行回数のパラメータをポアソン分布に従うように設定することです。 実際に […]
ラデマッハ確率変数の定義・期待値・分散の導出をわかりやすく解説
この記事では、確率論や機械学習でしばしば登場するラデマッハ確率変数 (Rademacher Random Variable) の定義を確認します。 ラデマッハ確率変数の期待値 実際、 […]
補対数対数リンク関数の逆関数の導出
この記事では補対数対数リンク関数の逆関数を求めます。 対数を2回書いているのは誤植ではないです。complementary log-log link functionです。 […]
対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説
この記事では、対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説します。 \begin{align*} X \sim LN(\mu, \sigma^2)\end{align*}とします。サンプルの平均を\(m\)と […]
正規分布のtail boundをわかりやすく解説
この記事では正規分布のtail boundの評価を解説します。 評価方法その1 \begin{align*} X \sim N(0,1)\end{align*}とします。 […]
一元配置分散分析(one-way ANOVA)をわかりやすく解説
この記事では、一元配置分散分析(one-way ANOVA)をわかりやすく解説します。適当にネットで調べてもあまりしっくりくる説明がなかったので、自分用の備忘録も兼ねています。前提知識としては、重回帰分析の線形代数による […]
累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解に書き直せることを解説
この記事では累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解として書き直せることを解説します。 12種類あるBurr型の分布は、 […]
順序統計量の最大値と最小値の累積分布関数の導出をわかりやすく解説！！
この記事では順序統計量の最大値と最小値の分布関数は簡単に求められることを解説します。 まず順序統計量の最大値と最小値というのは、確率変数 […]
線形回帰モデルの残差の分散共分散行列と単一データの残差の分線を導出する方法をわかりやすく解説
この記事では線形回帰モデルの残差の分散共分散行列を導出・証明する方法をわかりやすく解説します。 […]
線形回帰モデルのCase-Deletion公式の導出や証明をわかりやすく解説！！
この記事ではCase-Deletion公式をわかりやすく解説します。 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon\end{align*}という線形回帰モデルを考えます。 ここで、行列 […]
Sherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説
この記事ではSherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説します。 Sherman-Morrison-Woodburyの公式 証明は、直接計算が一番早いとおもいます。 […]
統計学の回帰分析におけるレバレッジの定義や性質をわかりやすく解説
この記事では回帰分析におけるレバレッジ(leverage)の定義をわかりやすく解説します。誤差項のある線形回帰モデル […]
擬似逆行列により定義したハット行列は適切に直交射影であることを解説
この記事では、擬似逆行列によるハット行列の定義は適切に直交射影であることを解説最初に擬似逆行列の定義を確認しておきます。 線形回帰モデル […]
線形回帰モデルで制限付きモデルとの残差平方和の差がカイ二乗分布に従うことを証明！！！
この記事では線形回帰モデルで制限付きモデルとの残差平方和の差がカイ二乗分布に従うことを証明します。 線形回帰モデルの設定 […]
多変量標準正規分布の対称冪等行列による2次形式がカイ二乗分布に従うことの証明
この記事では多変量標準正規分布の対称冪等行列による2次形式が、冪等行列のランクを自由度とするカイ二乗分布に従うことを証明します。つまり主張は次のとおりです。 実際にこのことを確かめてみましょう。最初に\(P\)を対角化し […]
多変量標準正規分布の直交行列による変換も多変量標準正規分布であることの証明！！！
この記事では、多変量標準正規分布の直交行列による変換も多変量標準正規分布であることを証明します。 \(x\)を\(n\)次元の多変量標準正規分布に従うとします。つまり、 […]
線形回帰モデルにおいて全要素が1のベクトルがハット行列の不動点であることの証明
この記事では線形回帰モデルにおいて全要素が1のベクトルがハット行列の不動点であることの証明をします。全要素が1のベクトルを […]
指数分布の順序統計量の期待値の導出をわかりやすく解説！！
この記事では指数分布の順序統計量の期待値の公式の導出をわかりやすく解説します。 […]
線形回帰モデルの残差平方和RSSの期待値を導出する方法をわかりやすく解説！！
この記事では残差平方和RSSの期待値の導出をわかりやすく解説します。まず最初に残差平方和がなんであったかを確認しておきます。線形回帰モデル […]
確率ベクトルの2次形式の期待値の公式をわかりやすく証明！！
この記事では確率ベクトルの2次形式の期待値の導出をわかりやすく証明します。ここで、\(n\)次確率ベクトルとは、確率変数\(X_1, \ldots, X_n\)を並べたベクトル […]
標準的な条件下でスコア関数の期待値が0であることの証明
この記事では、標準的な条件下でスコア関数の期待値が0であることを証明します。 まず、スコア関数を定義します。確率変数\(X\)を、パラメータ\(\theta\)をもち、確率密度関数が […]
アーラン分布の生存関数を計算する方法を解説！！
アーラン分布の生存関数をポアソン分布から計算する方法を解説します。最初にアーラン分布を思い出しておきましょう。 生存関数\(S(x) = 1 – F(x)\)を計算してみましょう。素直に積分を計算する方法と、 […]
条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説！！！
この記事では条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説します。条件付き裾野期待値(Conditional Tail Expectation)と言っているのは、確率変数\(X\)に対して […]
ハザード関数から生存関数を復元する計算を解説
この記事ではハザード関数から生存関数を導出する方法を解説します。 このことを確かめてみましょう。ハザード関数とは、\(f\)を\(X\)の確率密度関数として、 […]
指数分布の確率密度関数との積分をする時の部分積分公式
この記事では、指数分布の確率密度関数との積分をする時の部分積分公式を解説します。よくある状況を考えるために、\(f(x) \in C^\infty\)とし、\(^\exists{N} \in \mathbb N\)\be […]
略算平均余命の再帰式の導出方法を簡単に解説！
この記事では略算平均余命の再帰式の導出方法を解説します。 記号の復習をしておきます。\(x\)歳の人が\(k\)年生きる確率を、 […]
略算平均余命が生存確率の総和と一致することの証明をわかりやすく解説
この記事では、略算平均余命(Curtate Life Expectancy)が生存確率の総和と一致することを証明します。 記号の準備をします。 \(x\)歳の人の人口を、 […]
2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説！！！
この記事では2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説します。 このことを実際に確かめてみましょう。 \(\{A_t \}_t, \{B_t \}_t\)それぞれ、1回目のイベントが発生するまでの時間は平 […]
指数分布の指数関数がパレート分布であることをわかりやすく解説！！！
この記事では、指数分布の指数関数がパレート分布であること、つまり、パレート分布の対数変換が指数分布であることを解説します。 パレート分布がなんだったかを思い出しておきます。最小値パラメータ\(x_m >0\)、形状パラメ […]
パラメータがガンマ分布のポアソン混合分布が負の二項分布である証明をわかりやすく解説！！！
この記事ではパラメータがガンマ分布のポアソン混合分布が負の二項分布である証明をわかりやすく解説します。 まず初めに、ガンマ分布とポアソン分布について思い出しましょう。 パラメータ\(\alpha , \beta\)のガン […]
標準正規分布をカイ二乗分布のルートで割るとt分布が導出できることの証明
この記事では、標準正規分布をカイ二乗分布のルートで割るとt分布が導出できることをわかりやすく解説します。 t分布を導出する前に、標準正規分布とカイ二乗分布を思い出しておきます。標準正規分は確率密度関数が […]
指数分布の和がアーラン分布であることの証明をわかりやすく解説
この記事では指数分布の和がアーラン分布であることを証明します。 まずはじめに、アーラン分布について思い出しておきます。 次に、指数分布の確率密度関数を思い出すと、 次の事実を確認します。 このことは簡単に確認できます。平 […]
株式評価モデルのフランチャイズ価値モデルを導出する方法をわかりやすく解説
この記事では、フランチャイズ価値モデル（Franchise Value Model）の導出をします。フランチャイズ価値モデルは、成長機会現在価値（PVGO: Present Value of Growth Opportu […]
ポートフォリオの標準偏差の銘柄比率に関する勾配の求め方
この記事ではポートフォリオの標準偏差の重みに関する勾配を求めます。 \(X_1, \ldots, X_n\)を、標準偏差が\(\sigma_1, \ldots, \sigma_n\)である確率変数とします。 […]
標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をわかりやすく解説！！！！
この記事では標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をします。 まず最初にカイ二乗分布の確率 ですので、 自由度\(1\)のカイ二乗分布の確率密度関数は、 […]
事故発生件数がポアソン分布に従う1件目控除つき保険の期待支払額の計算方法
この記事では、事故発生件数がポアソン分布に従う1件目控除つき保険の期待支払額を計算します。 事故の発生件数が平均パラメータ\(\lambda\)のポアソン分布に従うとします。1件目の事故に対しては支払いはなく、2件目の事 […]
一様分布の分散の求め方をわかりやすく解説
この記事では一様分布の分散の求め方を解説します。 実際に計算してみましょう。 一様分布\(U(a, b)\)の確率密度関数が […]
二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説
この記事では二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説します。 このことを実際に確認してみましょう。\(X\)はパラメータ\(n, p\)の二項分布\(Bin(n, p)\)に従う確率変数ですので、 […]
二項分布の積率母関数の求め方をわかりやすく解説！！！
この記事では、二項分布の積率母関数(モーメント母関数)の求め方を解説します。 確率変数\(X\)の積率母関数とは、\begin{align*} M_{X}(t) = E(e^{tX}) \end{align*}により定義 […]
正規分布が再生性をもつことの証明をわかりやすく解説！！
この記事では、正規分布が再生性をもつことの証明をします。 \(X, Y\)をそれぞれ独立な正規分布\(N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)\)に従うとします。つまり、\be […]
ポアソン分布が再生性をもつことの証明をわかりやすく解説！！！
ポアソン分布の再生性、つまり独立なポアソン分布に従う確率変数の和もまたポアソン分布に従うことを証明します。 このことを証明してみましょう。\begin{align*} Z = X + Y \end{align*} という […]
生存関数から期待値を求める方法を解説！！！
今回は、生存関数を用いて確率変数の期待値を求める方法について詳しく解説します。数学的な導出だけでなく、直感的な理解や具体的な例も交えて説明していきます。 期待値は、生存関数の積分によって表現することができます。どういうこ […]
ポアソン分布の最頻値の求め方をわかりやすく解説！
統計学や確率論において、ポアソン分布はランダムな事象の発生をモデル化する際に非常に重要な確率分布です。特に、一定の時間や空間内での稀な事象の発生回数を扱う場合によく用いられます。 本記事では、ポアソン分布の最頻値（モード […]
二項分布の最頻値の求め方をわかりやすく解説！
統計学や確率論において、二項分布は非常に重要な確率分布の一つです。これは、成功確率が一定の試行を複数回行ったときの成功回数を表す分布です。二項分布の特性を理解することは、データ分析や統計的推測を行う上で不可欠です。 本記 […]
deferredキャッシュフローの修正デュレーションの計算方法を解説
投資やリスク管理の分野では、キャッシュフローのタイミングや金額の変動を考慮した評価が非常に重要です。特に、キャッシュフローが将来に繰り延べられる場合（Deferred Cash Flows）、その評価には特別な注意が必要 […]
対称な山型キャッシュフローの現在価値の計算方法を解説
ビジネスや投資の世界では、キャッシュフローのパターンはさまざまです。その中でも、支払い金額が期間の経過とともに増加し、その後減少する「山型キャッシュフロー」は特異なパターンとして知られています。現実の世界で綺麗に山型キャ […]
元金均等返済で金を貸した時の真の利回りである内部収益率(IRR)の計算方法を解説
\(L\)円を\(T\)期間で元金均等返済で貸し出すことを考えます。各期の金利は\(i\)で、支払いは各期末に発生します。受け取った返済金は、その期末にすぐに各期の利率\(j\)で再投資するものとします。現在を\(1\) […]
逆関数法による確率変数の生成をわかりやすく解説
乱数生成は統計やシミュレーションにおいて非常に重要な役割を果たします。特に、特定の確率分布に従う確率変数を生成することは、統計モデリングや金融工学など多くの分野で必要です。その一つの方法として「逆関数法」がよく使われます […]
棄却法によるサンプリングで確率変数を生成する方法をわかりやすく解説
確率分布に従った乱数を生成する方法は多く存在しますが、複雑な分布では直接サンプリングが難しいことがあります。そんなときに役立つのが 棄却法（Rejection Sampling） です。この記事では、棄却法の原理と使い方 […]
年金現価と年金終価の逆数の差が金利と一致することを解説
本記事では、年金現価と年金終価という2つの重要な概念を中心に、その逆数の差が金利に等しくなるという興味深い関係式について詳しく解説します。 まず、記号を導入します。各期の金利を\(i\)で表します。\(n\)期間、毎期末 […]
年金終価の期始払いと期末払いの再帰的関係式の導出を解説
金融計算や資産運用において、「年金終価」は重要な概念です。特に、支払いのタイミングによって「期始払い」と「期末払い」の2種類が存在し、それぞれの将来価値（終価）は異なります。本記事では、これら2つの年金終価の再帰的関係式 […]
借金やローンの元利金等返済の合計支払い利息の計算式をわかりやすく解説
元利均等返済とは、毎月の支払い額が一定で、元金と利息が混ざった形で返済していく方式です。毎月支払う額が固定されているので、計画的に返済がしやすいのが特徴です。 返済初期は、利息が大きく、元金返済が少ない。返済が進むにつれ […]
借金やローンの元利均等返済の計算式の導出を超簡単に解説
ローンを組むとき、毎月支払う金額が一定になる元利金等返済はとても一般的です。この仕組みを理解することは、金融計画にも役立ちます。この記事では、この元利金等返済の公式を、できるだけ簡単に説明します。 元利均等返済は、毎月の […]
累減年金の現在価値の公式をわかりやすく解説
毎期減少していく期末払い年金の現在価値を計算してみます。記号として、\(n\)期間の期末払い確定年金の現在価値を\(a_n\)で表記することにします。割引率を\(v\)で表すことにします。 証明を考えてみましょう。各期の […]
パー債券の修正デュレーションが期末払い確定年金現価と一致することの証明
パー債券とは、額面価格と同じ価格で発行される債券のことです。通常、債券にはクーポン（利息）が付いており、一定の期間ごとに投資家に支払われます。パー債券では、このクーポン率が市場利率と一致しているため、額面通りの価格で取引 […]
確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説
確率変数の二乗の確率密度関数の求め方を簡単に解説します。 確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説 連続型の確率変数を想定しています。まず最初に、適当な確率変数\(X\)に対して、 […]
限界代替率の計算方法をわかりやすく解説！！
限界代替率（MRS: Marginal Rate of Substitution）とは、経済学において消費者の選好を表現する重要な概念であり、特定の財の組み合わせにおいて、ある財を1単位追加で得るために、他の財をどれだけ犠牲にできるかを示します。
エッジワースボックスの契約曲線やコア配分をわかりやすく解説！
経済学におけるエッジワースボックスは、複数の個人が互いに利益を最大化するために財をどのように交換するかを考える上で、パレート最適な点を視覚的に表現するための便利な図です。
経済学の弾力性とは？計算式をわかりやすく解説！！
経済学において「弾力性」とは、ある変数（例えば価格や所得）が変動したときに、他の経済変数（例えば需要や供給）がどの程度応答するかを測る指標です。この概念は、市場の反応を理解し、価格設定や政策立案において重要な役割を果たします。
ソローモデルとは？計算式や定常状態をわかりやすく解説！！
ソローモデルの資本蓄積、効率労働あたり資本、定常状態を離散・連続時間で解説。貯蓄率が生産水準と長期成長率へ与える違いも整理します。
独学で日商簿記2級に100時間でギリ合格した裏技勉強方法を完全解説
日商簿記3級取得済みの筆者が、独学約100時間・73点で2級に合格した勉強法を解説。100時間は個人例である点と2026年度の試験情報も補足します。
レバレッジ型ETFがなぜ逓減するかを数学的にわかりやすく解説
レバレッジ型ETFには「逓減（decay）」と呼ばれる現象が存在し、これは長期投資におけるリスク要因となります。逓減とは、オリジナルの指標ではレンジでもとの価格に戻ってきているのに、レバレッジ型ETFの価格はもとの価格よりも低くなってしまう現象のことを指しています。この記事では逓減が発生する理由や原因を数学的に解説します。
ケリー基準の導出をわかりやすく解説！！
ケリー基準は、ある賭けの勝利確率、敗北時に失う金額、そして勝利した場合に得られる金額を基にして、その賭けに投じるべき資金の割合を計算します。この基準に従うことで、長期的に見て資金を効率的に増やすことができます。
カバーなし金利平価とカバーあり金利平価の違いをわかりやすく解説
カバー付き金利平価CIPとカバーなし金利平価UIPの違いを、式・成立条件・数値例で解説します。無裁定と為替リスクの違いも整理します。
海外投資の自国通貨建て予想収益率の近似式をわかりやすく解説！
本記事では海外投資の自国通貨建て予想収益率の近似式をわかりやすく解説します。
確率優越の考え方についてわかりやすく解説
複数のランダムな出来事に直面した際に、最も好ましい選択をする意思決定の基準として、「確率優越」という考え方が役に立つことがあります。
最小二乗法の式を偏微分を用いて導出する方法をわかりやすく解説
最小二乗直線 y=ax+b の傾きと切片を、残差平方和の偏微分から導出します。解が一意になる条件と正規方程式も解説します。
学習曲線と経験曲線効果と計算方法についてわかりやすく解説
学習曲線と経験曲線効果は、生産や作業の効率が経験や繰り返しによって向上する現象を数学的にモデル化したものです。この現象は、特に製造業において重要な意味を持ち、コスト削減や生産性向上の戦略を立てる上で役立ちます。
選好の単調性と凸性をわかりやすく解説！！
選好の単調性と凸性は、経済学における消費者の選好に関する概念の一つです。ここでの「選好」とは、消費者がある消費計画を他の消費計画よりも好むかどうか、またはその逆かを示すものを指します。
下方部分積率とは？定義と計算方法をわかりやすく解説！！
下方部分積率（Lower Partial Moment：LPM）は、投資のリスク評価に使用される統計的手法の一つです。特に、金融経済学やポートフォリオの最適化の文脈で使用されることがあります。
単射・全射・全単射の違いをわかりやすく解説
写像が単射・全射・全単射であるとはどういうことかについて、具体例を交えてわかりやすく解説します。大学数学の初めの段階では、関数や写像といった基本的な概念を学びますが、特に、単射であるか全射であるかということは非常に重要ですので、必ずマスターしておきましょう。
ガンマ分布の意味や性質と導出をわかりやすく解説
ガンマ分布を形状・率パラメータで定義し、期待値・分散・積率母関数・再生性を導出します。整数形状と指数分布の和の関係も解説します。
チェビシェフの不等式の証明をわかりやすく解説
チェビシェフの不等式は、確率変数が特定の値から離れている確率を評価する不等式です。確率論や統計学における基本的かつ重要な不等式です。
Farkasの補題の証明をわかりやすく解説
Farkasの補題を証明します。これは線形計画問題や最適化問題で重要な補題で、凸解析の分離定理を用いて証明します。
最小分散ポートフォリオの投資比率の求め方・計算式をわかりやすく解説
最小分散ポートフォリオは、実現可能なポートフォリオのうち、分散（あるいは標準偏差・リスク）が最小化する投資比率を設定したポートフォリオのことを指します。
移動平均過程(MAモデル)の自己相関や定常性の性質をわかりやすく解説
移動平均過程（Moving Average Process MAモデル）の自己相関の計算や定常性について解説します。
投資機会集合と効率的フロンティアを図と数式でわかりやすく解説
2資産による投資機会集合(investment-opportunity-set)と効率的フロンティア(Efficient Frontier、有効フロンティア)を図を用いて解説します。ポートフォリオ理論の中心的な要素であり、投資を行う上での戦略決定において重要な役割を果たします。
ポートフォリオのリスク分散効果の証明を2資産でわかりやすく解説
ポートフォリオのリスク分散効果とは、ポートフォリオのリスクが、ポートフォリオを構成する資産のリスクの投資比率に応じた単なる加重平均よりも小さくなることです。
相関係数が-1以上1以下であることの証明をわかりやすく解説
二つの確率変数に対して相関係数が必ず-1以上1以下の範囲であることの証明をわかりやすく解説します。
エクセルのソルバーで線形計画問題を解く方法をわかりやすく解説
Excel Solverで線形計画問題を解く方法を、数式設計からセル入力、シンプレックスLP、非負・整数制約、結果確認まで具体例で解説します。
確実等価額とリスクディスカウント額の計算についてわかりやすく解説
確実等価額（Certain Equivalent）とリスクディスカウント額（Risk Discount）は、投資や経済における重要な概念です。
デルタ関数のフーリエ変換の証明をわかりやすく解説
この記事では、デルタ関数のフーリエ変換について説明します。
三角関数(sin・cos)の総和の公式をわかりやすく解説
三角関数(sin・cos)の総和の公式をわかりやすく解説します。
数列の平均・チェザロ平均の極限の証明をわかりやすく解説
チェザロ平均（チェザロへいきん、英: Cesàro mean, Cesàro average）とは、数列の最初の有限個の項から作られる算術平均のことです。数列の平均・チェザロ平均の極限についての命題をイプシロン・デルタ論法を用いてわかりやすく解説します。
σ有限な測度の定義・性質・例をわかりやすく解説
σ有限な測度の定義と性質と具体的な例について解説します。測度論の基礎を理解し、この重要な概念について深く知ることで、より高度な数学や関連分野への理解を深めることができるでしょう。さあ、測度論の世界へと一緒に足を踏み入れてみましょう。
微分演算子はエルミートではないが虚数単位iをかけるとエルミートになることの証明
微分演算子がエルミート演算子でない一方で、虚数単位数式を掛けるとエルミート演算子に変わるという興味深い性質について解説します。この特性は数学だけでなく、量子力学の理解にも大きな影響を与えるため、科学や数学に興味がある方々にとって非常に重要な概念です。
(logx)^2の微分・積分・計算方法をわかりやすく解説
自然対数(log x)を二乗する関数(logx)^2の微分・積分・計算方法について、わかりやすく解説します。
ヘヴィサイド関数の微分がデルタ関数であることの証明
ヘヴィサイド関数の微分がデルタ関数であることの証明。特に信号処理や電磁気学において頻繁に遭遇する特殊な関数、ヘヴィサイド関数とデルタ関数についての理解を深めよう。
フーリエ変換で微分と掛け算が交換することの証明
フーリエ変換の性質のうち、微分と掛け算が交換することを証明します。 時間領域の微分演算子と周波数領域の乗法演算子が交換可能ということが証明されます。これはフーリエ変換が微分方程式を代数方程式に変換する助けになり、微分方程式の解析を容易にします。
微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明
微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明です。
フルラニ積分(Frullani Integral)の証明
フルラニ積分(Frullani Integral)の証明 証明 \begin{align*}F(t,x) = f(tx) \end{align*} と定めます。 […]
e^{-a|x|}のフーリエ変換を計算
e^{-a|x|}のフーリエ変換を計算 採用しているフーリエ変換に応じて適当に定数倍してください。 1次元におけるフーリエ変換 \(a > 0\) をパラメータとする\(\mathbb R\) 上の関数 \begi […]
1/zが正則であることの証明をわかりやすく解説
複素数値関数数式が正則であることを証明してみましょう。
2階線型同次微分方程式(定数係数)の解き方をわかりすく解説
2階線型同次方程式、あるいは2階線型斉次方程式と呼ばれる微分方程式のうち、定数係数であるものの解き方について簡単に説明します。
外測度の定義と性質をわかりやすく解説
外測度(outer measure)は、集合論や測度論における重要な概念で、ある意味で集合の「大きさ」をはかるものです。以下に、外測度の基本的な定義と性質を述べます。
有界な集合の同相写像による像で有界でない集合の例
有界な集合の同相写像による像は有界な集合でしょうか。結論を先に述べると、反例があります。このことは、集合論や位相空間理論で一般的に扱われる話題です。
全単射ならば閉写像と開写像が同値であることの証明
全単射が閉写像であることと開写像であることは同値であることを示します。
無限級数∑1/(n^2-x) が収束するようなxの範囲
次の無限級数の収束を考えます。 \begin{align*} \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2 – x} \end{align*} この無限級数が収束する\(x\)の範囲を求め […]
片側フーリエ変換の閉複素半平面への連続な拡張
片側フーリエ変換の閉複素半平面への拡張について、一緒に探求してみましょう。さらに、その拡張がどのように振る舞うのか、そして零点がどのように分布するのかについても探求します。
L^pノルムの対数凸性の証明
数式ノルムの対数凸性の証明をしてみましょう。
正則な行列は零因子でないことの証明
なぜ正則な行列が零因子でないのか、数学的に見ていきましょう。
L^1収束するならばフーリ変換が各点収束することの証明
数式の絶対値は、数式の数式ノルムに比例する定数で抑えられると言えます
測度が有限であればL^qならばL^p
測度が有限である場合、L^p空間とL^q空間の間には重要な関係が存在します。「測度が有限であればL^qならばL^p」というのは、測度が有限であるという条件のもとで、もし関数fがL^q空間に属しているならば、p ≤ q の場合、関数fは自動的にL^p空間にも属する、という意味です。これは、Holderの不等式と有限測度の性質から示されます。
p乗可積分とq乗可積分ならばr乗可積分である条件を証明
L^pかつL^qならばL^rとなる条件、(p乗可積分とq乗可積分ならばr乗可積分である条件)を証明します。これは、解析学や測度論における重要な結果であり、関数の性質を理解する上で基本的なツールとなっています。
トマエ関数の反対？有理数で連続で無理数で不連続な関数は存在するのか
トマエ関数は有理数において不連続である一方、無理数では連続であるという特徴的な性質をもつ関数です。この関数の存在が引き起こす疑問は、ある意味で反対な疑問「有理数で連続で無理数で不連続な関数は存在するのか？」というものです。
実数値関数の不連続点は閉集合の可算和であることの証明
実数値関数の不連続点は閉集合の可算和であることの証明をします。このことは、関数の連続性を深く理解する上でもしかすると重要です。
再生核ヒルベルト空間のデルタ関数による特徴づけ
再生核ヒルベルト空間（Reproducing Kernel Hilbert Space、RKHS）は、数学や統計学、機械学習、特にサポートベクターマシンやカーネル法などの分野で広く活用されています。この空間は、特定の性質を持つ核を備えたヒルベルト空間であるという意味で、特別です。
【確率過程】ほとんど確実に右連続な修正は区別できないことの証明
ほとんど確実に右連続な修正は区別できないことの証明を行いたいと思います。これは確率論において非常に重要な問題で、これに取り組むことで深い洞察を得ることができます。
ほとんど確実な事象との共通部分は確率を変えないことの証明
ほとんど確実な事象との共通部分は確率を変えないことを証明します。 このことは、確率論で非常に基本的な事実であるので、しっかりと押さえておきましょう。
定積分が定める関数はいつ連続関数になるか
定積分が定める関数の連続性について考えることは、関数の基本的な性質を理解する上で非常に重要なトピックです。この性質は、実解析における基本的な結果であり、微分積分学の理解にとっても鍵となります。
積のボレル集合体とボレル集合体の積はいつ一致するかについての証明
積のボレル集合体とボレル集合体の積は、確率論や測度論における重要な概念である。ここで、「積のボレル集合体」とは、ふたつの位相空間の直積上におけるボレル集合の族を意味し、「ボレル集合体の積」は、それぞれの空間のボレル集合体のある種の積として定義される。 これら二つの概念は、一般的には異なるが、特定の条件の下で一致する。それは、各位相空間が第二可算（second-countable）である場合である。
正規分布の積率母関数の計算と期待値の証明をわかりやすく解説
積率母関数は、確率変数のモーメントを生成するための便利なツールです。特に、正規分布の場合、積率母関数は解析的に計算することが可能です。
対数正規分布の確率密度関数・期待値・分散の導出の証明
統計学や確率論に慣れ親しんでいる方なら、正規分布について何度も聞いたことがあることでしょう。この記事では、対数正規分布の確率密度関数と期待値と分散を導出してみようと思います。
【仮説検定】両側検定と片側検定の違いがわからない人へ
片側検定をする場合に帰無仮説と対立仮説が排反になっていないのではないかという疑問について考察しました。
生保レディの営業実態 | 退職までの体験談
今回は、実際に生命保険の営業職を経験した方からお話を伺い、そのリアルな業務内容や魅力について綴ります。
寄付金ゲームについて簡単に解説【経済学ゲーム理論】
経済学のゲーム理論でよくとりあげられる寄付金ゲームについて、最適な行動を考察してみましょう。
ポイントは貯めずに毎回使うと大損！？徹底検証
毎回ポイントを使うのと、貯め続けて最後に使うのでは、どちらがお得なのでしょうか、実際に計算してみました。
バーゼルIII規制：高品質流動資産（HQLA）と平均流動性カバレッジ比率（LCR）を簡単解説
金融危機を受けて策定された国際的な銀行規制バーゼルIII規制とは？銀行が遵守すべきルールをわかりやすく解説。
利力の導出の証明をわかりやすく解説
利力の導出方法をわかりやすく解説！
ラスパイレス指数とパーシェ指数の使い分けをわかりやすく解説
ラスパイレス指数とパーシェ指数の使い分けについて解説します。経済学では、物価の変動や実質所得の変化を測るために、さまざまな価格指数が使われます。その中でも「ラスパイレス指数」と「パーシェ指数」は重要なものとして知られています。
市場支配力の測定方法：ラーナー指数とHH指数をわかりやすく解説
「市場支配力」を理解するために、ラーナー指数やHH指数などの概念を知ろう！