ソローモデル（Solow growth model）は、「なぜ経済は成長するのか」「資本を増やし続ければ、いつまでも豊かになれるのか」を考えるための代表的な経済成長モデルです。資本・労働・技術・貯蓄の関係を整理すると、経済が定常状態へ近づく理由や、貯蓄率が水準と成長率へ与える違いが見えてきます。
ソローモデルの中心は、効率労働1単位あたりの資本\(k\)についての資本蓄積方程式です。
\begin{align*} \dot{k}=s k^\alpha-(\delta+n+g)k \end{align*}
投資\(s k^\alpha\)と、資本を維持するために必要な投資\((\delta+n+g)k\)が一致する点が定常状態\(k^*\)です。
貯蓄率の上昇は長期的な生産水準を高めますが、1人あたり生産の長期成長率を恒久的に高めるわけではありません。標準的なソローモデルでは、長期成長率は外生的な技術進歩率\(g\)で決まります。
ソローモデルとは
ソローモデルは、ロバート・ソローが1956年に示した新古典派経済成長モデルです。経済全体の生産量を、資本\(K\)と効率労働\(AL\)から作ると考えます。
\begin{align*} Y=F(K,AL) \end{align*}
生産した\(Y\)のうち、割合\(s\)を貯蓄して投資へ回し、残りの\(1-s\)を消費します。投資は将来の資本を増やしますが、既存の資本は減耗します。また、人口と技術が成長すると、1単位の効率労働に対して必要な資本も増えます。
ソローモデルの仕組みを順番に理解する
流れを4段階に分けると、次のようになります。
- 資本\(K\)と効率労働\(AL\)を使って、生産\(Y\)を行う。
- 生産のうち\(sY\)を投資、\((1-s)Y\)を消費へ回す。
- 投資は資本を増やし、減耗\(\delta K\)は資本を減らす。
- 労働\(L\)と技術\(A\)が成長すると、効率労働あたりに必要な資本も増える。
つまり、ソローモデルは「資本を増やす力」と「資本を維持するために必要な力」の綱引きを表すモデルです。
ソローモデルの前提と記号
ここからは、時間が連続的に進む標準的なモデルを中心に説明します。
| 記号 | 意味 | 標準的な条件 |
|---|---|---|
| \(Y(t)\) | 総生産量 | \(Y(t)\ge0\) |
| \(K(t)\) | 資本ストック | \(K(t)\ge0\) |
| \(L(t)\) | 労働力・人口 | \(\dot L/L=n\) |
| \(A(t)\) | 労働の効率を表す技術水準 | \(\dot A/A=g\) |
| \(s\) | 貯蓄率・投資率 | \(0<s<1\) |
| \(\delta\) | 資本の減耗率 | \(\delta>0\) |
| \(n\) | 人口成長率 | 通常は\(n\ge0\) |
| \(g\) | 技術進歩率 | 通常は\(g\ge0\) |
| \(\alpha\) | 資本の産出弾力性 | \(0<\alpha<1\) |
コブ＝ダグラス型生産関数
生産関数には、次のコブ＝ダグラス型を使います。
\begin{align*} Y(t)=K(t)^\alpha\{A(t)L(t)\}^{1-\alpha} \end{align*}
\(0<\alpha<1\)なので、資本を増やせば生産は増えますが、その増え方は少しずつ小さくなります。これを資本の限界生産力逓減といいます。
この式では\(\alpha\)が資本の産出弾力性になっています。弾力性そのものの意味は、経済学の弾力性とは？計算式をわかりやすく解説で確認できます。
資本の蓄積
生産の一定割合\(s\)を投資し、資本が割合\(\delta\)だけ減耗すると仮定します。
\begin{align*} \dot K(t)=sY(t)-\delta K(t) \end{align*}
技術と労働は、それぞれ一定率で成長するとします。
\begin{align*} \dot A(t)=gA(t), \qquad \dot L(t)=nL(t) \end{align*}
標準的なソローモデルでは、貯蓄率\(s\)、人口成長率\(n\)、技術進歩率\(g\)はモデルの外から与えます。特に、技術進歩がどこから生まれるかはモデル内では説明しません。
効率労働あたりで考える理由
人口\(L\)と技術\(A\)が増える経済では、総量\(K,Y\)も拡大し続けるため、そのままでは「落ち着く点」を捉えにくくなります。そこで、効率労働\(AL\)で割った変数を使います。
\begin{align*} k(t):=\frac{K(t)}{A(t)L(t)}, \qquad y(t):=\frac{Y(t)}{A(t)L(t)} \end{align*}
\(k\)は効率労働あたり資本、\(y\)は効率労働あたり生産です。生産関数へ代入すると、
\begin{align*} y(t) &=\frac{K(t)^\alpha\{A(t)L(t)\}^{1-\alpha}}{A(t)L(t)}\\ &=\left(\frac{K(t)}{A(t)L(t)}\right)^\alpha\\ &=k(t)^\alpha \end{align*}
となり、複数の変数を含む生産関数を、\(y=f(k)=k^\alpha\)という1変数の関係へ整理できます。
\(AL\)は、人数だけでなく労働者の生産性も考慮した労働量です。たとえば技術水準\(A\)が2倍なら、同じ人数でも2倍の効率労働を持つと解釈します。経験による生産性向上の別の見方は、学習曲線と経験曲線効果で解説しています。
資本蓄積方程式を導く
\(k=K/(AL)\)を時間で微分すると、
\begin{align*} \dot k &=\frac{\dot K}{AL} -\frac{K}{AL}\frac{\dot A}{A} -\frac{K}{AL}\frac{\dot L}{L}\\ &=\frac{sY-\delta K}{AL}-gk-nk\\ &=sy-(\delta+n+g)k \end{align*}
\(y=k^\alpha\)を使えば、ソローモデルの中心となる式を得ます。
\begin{align*} \boxed{\dot k=s k^\alpha-(\delta+n+g)k} \end{align*}
- \(s k^\alpha\)：効率労働あたりの投資。\(k\)を増やす力。
- \((\delta+n+g)k\)：減耗・人口増加・技術進歩を補うための必要投資。\(k\)を維持するための力。
人口や技術の成長が\(k\)を押し下げるように見えるのは、分母の効率労働\(AL\)が増えるためです。技術進歩そのものが悪いという意味ではありません。
定常状態の求め方
定常状態とは、効率労働あたり資本\(k\)が変化しない状態です。したがって\(\dot k=0\)を満たします。
\(k=0\)も定常状態です。以下では、資本がまったくない状態を除いた正の定常状態\(k^*>0\)を求めます。初期時点で\(k_0>0\)なら、経済はこの正の定常状態へ近づきます。
\begin{align*} s(k^*)^\alpha =(\delta+n+g)k^* \end{align*}
\(k^*>0\)として両辺を\(k^*\)で割ると、
\begin{align*} s(k^*)^{\alpha-1} =\delta+n+g \end{align*}
なので、正の定常状態は次のように求められます。
\begin{align*} \boxed{ k^* =\left(\frac{s}{\delta+n+g}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}} } \end{align*}
定常状態の生産と消費は、
\begin{align*} y^*&=(k^*)^\alpha,\\ c^*&=(1-s)(k^*)^\alpha \end{align*}
です。
なぜ定常状態へ近づくのか
投資\(s k^\alpha\)と必要投資\((\delta+n+g)k\)を比べると、現在の\(k\)が定常状態へ向かって動く理由がわかります。
| 現在の位置 | 投資と必要投資 | \(\dot k\) | 次の動き |
|---|---|---|---|
| \(0<k<k^*\) | \(s k^\alpha>(\delta+n+g)k\) | 正 | \(k\)は増える |
| \(k=k^*\) | \(s k^\alpha=(\delta+n+g)k\) | 0 | \(k\)は変わらない |
| \(k>k^*\) | \(s k^\alpha<(\delta+n+g)k\) | 負 | \(k\)は減る |
投資曲線\(s k^\alpha\)は右上がりですが、資本の限界生産力が逓減するため、次第に傾きが緩やかになります。一方、必要投資\((\delta+n+g)k\)は直線です。そのため、正の初期値から始めると、\(k\)は正の定常状態へ近づきます。
定常状態を数値例で計算する
次の値を考えます。
\begin{align*} \alpha=0.5,\quad s=0.20,\quad \delta=0.05,\quad n=0.02,\quad g=0.03 \end{align*}
必要投資率は、
\begin{align*} \delta+n+g =0.05+0.02+0.03 =0.10 \end{align*}
です。したがって、
\begin{align*} k^* &=\left(\frac{0.20}{0.10}\right)^{\frac{1}{1-0.5}}\\ &=2^2\\ &=4 \end{align*}
となります。生産・投資・消費も順番に求められます。
| 項目 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|
| 定常状態の生産\(y^*\) | \(\sqrt{4}\) | \(2\) |
| 投資\(sy^*\) | \(0.20\times2\) | \(0.4\) |
| 必要投資\((\delta+n+g)k^*\) | \(0.10\times4\) | \(0.4\) |
| 消費\(c^*\) | \((1-0.20)\times2\) | \(1.6\) |
投資と必要投資がどちらも\(0.4\)になっているため、確かに\(\dot k=0\)です。
貯蓄率が上がると何が起きるか
貯蓄率が\(s\)から\(s^\prime>s\)へ上がると、投資が増えます。その結果、正の定常状態は\(k^*\)から、より大きな\(k_{\mathrm{new}}^*\)へ移ります。
先ほどの例で、貯蓄率だけを\(0.20\)から\(0.30\)へ上げると、
\begin{align*} k_{\mathrm{new}}^* &=\left(\frac{0.30}{0.10}\right)^2 =9,\\ y_{\mathrm{new}}^* &=\sqrt{9} =3 \end{align*}
となり、効率労働あたり資本は\(4\)から\(9\)、生産は\(2\)から\(3\)へ増えます。ただし、新しい定常状態へ到達すると\(\dot k=0\)へ戻ります。
貯蓄率の上昇には、資本と生産の水準を高める効果があります。移行中は成長率も一時的に上がりますが、標準的なソローモデルの長期成長率を恒久的に変える効果ではありません。
人口・減耗・技術進歩の効果
定常状態の式
\begin{align*} k^* =\left(\frac{s}{\delta+n+g}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}} \end{align*}
を見ると、各パラメータの効果を整理できます。
| 変化 | 効率労働あたりの定常状態 | 長期成長率への意味 |
|---|---|---|
| 貯蓄率\(s\)が上がる | \(k^*,y^*\)は上がる | 1人あたり長期成長率は変わらない |
| 減耗率\(\delta\)が上がる | \(k^*,y^*\)は下がる | 資本維持の負担が増える |
| 人口成長率\(n\)が上がる | \(k^*,y^*\)は下がる | 総量の成長率には\(n\)が加わる |
| 技術進歩率\(g\)が上がる | 効率労働あたり\(k^*,y^*\)は下がる | 1人あたり長期成長率は\(g\)になる |
\(g\)が上がると効率労働あたり資本が下がるのは、技術進歩で分母\(AL\)が速く増えるためです。一方で、1人あたり生産の長期成長率は高くなります。どの単位で測っているかを区別してください。
定常状態で何が成長し、何が止まるのか
「定常状態だから経済全体が成長しない」という意味ではありません。何を基準に測るかで、成長率は次のように変わります。
| 測り方 | 変数 | 定常状態の成長率 |
|---|---|---|
| 効率労働あたり | \(k=K/(AL),\ y=Y/(AL)\) | 0 |
| 1人あたり | \(K/L,\ Y/L\) | \(g\) |
| 経済全体の総量 | \(K,\ Y\) | \(n+g\) |
\(k\)と\(y\)が一定でも、技術水準\(A\)は率\(g\)で成長しています。そのため、1人あたり資本と1人あたり生産は\(g\)で成長します。人口も率\(n\)で増えるため、総資本と総生産は\(n+g\)で成長します。
貯蓄率は高いほどよい？黄金律
貯蓄率を上げると定常状態の生産は増えますが、消費へ回せる割合\(1-s\)は減ります。したがって、貯蓄率は高ければ高いほどよいとは限りません。
定常状態の消費は、投資が必要投資と一致することを使って、
\begin{align*} c^* =f(k^*)-(\delta+n+g)k^* \end{align*}
と書けます。これを最大にする資本量を黄金律の資本量\(k_{\mathrm{GR}}\)といい、
\begin{align*} f'(k_{\mathrm{GR}}) =\delta+n+g \end{align*}
を満たします。コブ＝ダグラス型\(f(k)=k^\alpha\)では、黄金律を実現する貯蓄率は\(s_{\mathrm{GR}}=\alpha\)です。
通常の定常状態は「資本が止まる場所」を示します。黄金律は、その中で「定常状態の消費を最も大きくする場所」を示します。何を最大化するかが異なります。
離散時間のソローモデル
年ごと・期ごとに値が変わる離散時間では、次の設定を使えます。
\begin{align*} Y_t&=K_t^\alpha(A_tL_t)^{1-\alpha},\\ K_{t+1}&=(1-\delta)K_t+sY_t,\\ A_{t+1}&=(1+g)A_t,\\ L_{t+1}&=(1+n)L_t \end{align*}
\(k_t=K_t/(A_tL_t)\)とおくと、
\begin{align*} k_{t+1} =\frac{(1-\delta)k_t+s k_t^\alpha}{(1+g)(1+n)} \end{align*}
です。\(k_{t+1}=k_t=k^*\)とおけば、正の定常状態は、
\begin{align*} \boxed{ k^* =\left( \frac{s}{\delta+n+g+gn} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}} } \end{align*}
となります。
離散時間では、効率労働の成長倍率が\((1+g)(1+n)\)なので、必要投資率に交差項\(gn\)が現れます。連続時間の式は\(\delta+n+g\)です。成長率が小さければ\(gn\)も小さいですが、厳密には別のモデルとして扱います。
ソローモデルでよくある誤解
定常状態では経済成長が止まる
止まるのは効率労働あたりの\(k,y\)です。技術進歩がある場合、1人あたり生産は\(g\)、総生産は\(n+g\)で成長します。
貯蓄率を上げれば長期成長率も上がる
貯蓄率は新しい定常状態へ移る間の成長と、長期的な生産水準を高めます。しかし、標準モデルの1人あたり長期成長率は技術進歩率\(g\)で決まります。
技術進歩率が高いと効率労働あたり資本が下がるので悪い
効率労働あたり資本が下がるのは、分母の技術水準が速く増えるからです。1人あたり生産の長期成長率は、むしろ\(g\)によって高くなります。
定常状態と黄金律は同じ
定常状態は\(\dot k=0\)になる点です。黄金律は、その定常状態の中で消費を最大にする点です。
練習問題
問題1：定常状態を計算する
\(\alpha=0.5,\ s=0.25,\ \delta=0.05,\ n=0.02,\ g=0.03\)のとき、連続時間モデルの\(k^*\)と\(y^*\)を求めてください。
答えを見る
\(\delta+n+g=0.10\)なので、
\begin{align*} k^* =\left(\frac{0.25}{0.10}\right)^2 =6.25 \end{align*}
です。したがって、\(y^*=\sqrt{6.25}=2.5\)です。
問題2：資本が動く方向を判定する
現在の\(k\)が\(k^*\)より小さく、\(s k^\alpha>(\delta+n+g)k\)であるとき、\(k\)はどちらへ動きますか。
答えを見る
\(\dot k>0\)なので、\(k\)は増加して\(k^*\)へ近づきます。
問題3：貯蓄率の効果を説明する
貯蓄率の上昇は、1人あたり生産の水準と長期成長率へそれぞれどのような影響を与えますか。
答えを見る
新しい定常状態へ移る途中では資本と生産が成長し、長期的な1人あたり生産の水準は高くなります。一方、標準的なソローモデルの1人あたり長期成長率は技術進歩率\(g\)で決まるため、貯蓄率の上昇だけでは恒久的に変わりません。
ソローモデルについてよくある質問
ソローモデルの定常状態とは何ですか？
効率労働あたり資本\(k=K/(AL)\)が変化しない状態です。投資\(s f(k)\)と必要投資\((\delta+n+g)k\)が一致します。
ソローモデルでは何が経済成長を決めますか？
移行中の成長には資本蓄積が影響します。定常状態における1人あたり生産の長期成長率は、外生的に与えた技術進歩率\(g\)で決まります。
ソローモデルの弱点は何ですか？
貯蓄率、人口成長率、技術進歩率を外生的に置き、特に長期成長の源泉である技術進歩が生まれる仕組みを説明しない点です。この限界を補うため、技術や人的資本への投資をモデル内で扱う内生的成長理論が発展しました。
さらに学ぶための参考書
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まとめ
ソローモデルは、生産・貯蓄・投資・減耗・人口成長・技術進歩を結び付けて、経済が定常状態へ近づく仕組みを説明します。
- 生産関数は\(y=f(k)=k^\alpha\)と整理できる。
- 資本蓄積方程式は\(\dot k=s k^\alpha-(\delta+n+g)k\)。
- 投資と必要投資が一致する点が定常状態\(k^*\)。
- 貯蓄率は長期的な生産水準を変えるが、長期成長率を恒久的には変えない。
- 定常状態でも、1人あたり生産は技術進歩率\(g\)で成長する。
式を見るときは、「投資が資本を増やす」「減耗・人口成長・技術進歩を補う必要投資が資本を維持する」「両者が一致すると定常状態になる」と順番に押さえると、ソローモデル全体を迷わず追えます。