経済学の弾力性とは？計算式をわかりやすく解説！！

経済学において「弾力性」とは、ある変数（例えば価格や所得）が変動したときに、他の経済変数（例えば需要や供給）がどの程度応答するかを測る指標です。この概念は、市場の反応を理解し、価格設定や政策立案において重要な役割を果たします。

経済学の弾力性とは？計算式をわかりやすく解説！！

この記事では、弾力性の基本的な理論を紹介し、それが経済学全体でどのように機能するかを説明します。

弾力性の定義

早速、弾力性の数学的な定義について確認してみましょう。
\begin{align*} y: \mathbb R \rightarrow \mathbb R; x \mapsto y(x)\end{align*}
という関数を考えます。\(y\)は微分可能ということにしておきましょう。

分母の
\begin{align*} \frac{(x_0 + h) – x_0}{x_0} \times 100\end{align*}
は、\(x_0\)において値が\(h\)変化した時、 それが何%の変化であるかを表しています。
分子の
\begin{align*} \frac{y(x_0 + h) – y(x_0)}{y(x_0)} \times 100\end{align*}
は、\(y(x_0)\)において、\(x_0\)が\(h\)変化した時に、それが\(y\)にとって何%の変化であるかを表しています。
つまり、
\begin{align*} \frac{ \frac{y(x_0 +h) – y(x_0)}{y(x_0)} \times 100 }{ \frac{(x_0 + h) – x_0}{x_0} \times 100} \end{align*}
は、割り算をすることによって、\(x_0\)から\(x\)が1%変化したときに、\(y\)が何%変化するかを表しています。

弾力性は、\(x_0\)における局所的な挙動をとらえるものとしたいので、
\begin{align*} e_x y(x_0) := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{y(x_0 +h) – y(x_0)}{y(x_0)} \times 100 }{ \frac{(x_0 + h) – x_0}{x_0} \times 100} \end{align*}
と\(h\)を\(0\)に近づけた極限としています。

弾力性の便利な表現

弾力性を定義そのままの式から変形して、みやすくしていきましょう。
\begin{align*} e_x y(x_0) &:= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{y(x_0 +h) – y(x_0)}{y(x_0)} \times 100 }{ \frac{(x_0 + h) – x_0}{x_0} \times 100}
\\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{y(x_0 +h) – y(x_0)}{y(x_0)} }{ \frac{(x_0 + h) – x_0}{x_0}}
\\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{y(x_0 +h) – y(x_0)}{y(x_0)} }{ \frac{h}{x_0}}
\\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{y(x_0 +h) – y(x_0)}{h} \frac{x_0}{y(x_0)}
\\&= \frac{dy}{dx}(x_0) \frac{x_0}{y(x_0)} \end{align*}

弾力性の形式的な表現

弾力性の形式的な表現を得てみましょう。
形式的といいましたが、きちんと定義することもできますが、ここでは省略することにします。
\begin{align*} \frac{d \log y}{dy} = \frac{1}{y} \end{align*}
なので、
\begin{align*} d \log y = \frac{1}{y} dy \end{align*}
と書くことができます。また同様に
\begin{align*} \frac{d \log x}{dx} = \frac{1}{x} \end{align*}
なので、
\begin{align*} d \log x = \frac{1}{x} dx \end{align*}
と書くことができます。すると、
\begin{align*}e_x y&= \frac{dy}{dx} \frac{x}{y}
\\&= \frac{\frac{1}{y} d dy }{ \frac{1}{x} dx }
\\&= \frac{ d \log y }{ d \log x} \end{align*}

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