\(\mathcal{F}\)を再保険関数全体の集合
\begin{align*}\mathcal{F} := \left\{ f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ \mid f \text{ is increasing and convex},\\0 \leq f(x) \leq x \quad \forall x \geq 0\right\}. \end{align*}
とします。
ここで、 \(f \in \mathcal{F}\)は、損失\(x\)に対して再保険会社が元受保険会社に支払う保険金を\(f(x)\)とします。
さらに、\(\mathcal G\)を
\begin{align} \mathcal G = \left\{ f(x) := c (x – d)_+ \in \mathcal F \mid c \in [0, 1], d \geq 0 \right\}\end{align}
によって定義します。すなわち、Stop Loss&QS型の再保険全体です。
損失を表す確率変数を\(X\)で書くことにします。再保険関数\(f\)に対するパラメータ\(\alpha\)のネットのコストを
\begin{align*} H_{\alpha }(f) := S^{-1}(\alpha ) – f(S^{-1}(\alpha ) ) + (1 + \rho )E(f(X)) \end{align*}
により定義します（\(\rho\)は出再の保険料が発生することによる安全割増）。
\( S^{-1}(\alpha ) – f(S^{-1}(\alpha ) ) \)が正味の保険金で、\((1 + \rho )E(f(X))\)が出再による保険料の支出です。
任意の\(f \in \mathcal F\)に対して、\(\bar f \in \mathcal G\)で
\begin{align*} H(\bar f ) \leq H(f) \end{align*}
を満たすものが存在する。
実際、\(f\)の\(S^{-1}(\alpha )\)における劣微分
\begin{align*} \partial^- f(S^{-1}(\alpha )) = \left\{ c \in \mathbb{R} \,\middle|\, f(x) \geq f( S^{-1}(\alpha ) ) + c(x – S^{-1}(\alpha ) ) \text{ for all } x \in \mathbb{R} \right\} \end{align*}
から適当に
\begin{align*} c_\alpha \in \partial^- f(S^{-1}(\alpha )) \end{align*}
を一つ選んできて、
\begin{align*} \bar f (x) = c_\alpha \left(x – \left(S^{-1}(\alpha ) + \frac{f(S^{-1}(\alpha ) )}{c_\alpha} \right) \right)_+ \end{align*}
とすれば、\(\bar f \in \mathcal G\)であり、
\begin{align*} H(\bar f) \leq H(f) \end{align*}
となります。実際、
\begin{align*}\bar f \left(S^{-1}(\alpha ) \right) = f \left(S^{-1}(\alpha ) \right) \end{align*}
であることと、
\begin{align*} c_\alpha \left(x – \left(S^{-1}(\alpha ) + \frac{f(S^{-1}(\alpha ) )}{c_\alpha} \right) \right)_+ = \left( c_\alpha \left( x – \left(S^{-1}(\alpha )\right) + f(S^{-1}(\alpha ) ) \right) \right)_+\end{align*}
であり、劣微分の定義から
\begin{align*} f(x) \geq f( S^{-1}(\alpha ) ) + c_\alpha (x – S^{-1}(\alpha ) ) \text{ for all } x \in \mathbb{R} \end{align*}
なので、
\begin{align*} f(x) \geq \left(f( S^{-1}(\alpha ) ) + c_\alpha (x – S^{-1}(\alpha ) ) \right)_{+} \text{ for all } x \in \mathbb{R} \end{align*}
となります（右辺が\(0\)になるときは\(f(x) \geq 0\)が成り立つかですが、成り立つので）。
そういうわけで、
\begin{align*} \bar f \leq f \end{align*}
なので、
\begin{align*} E(\bar f) \leq E(f)\end{align*}
ということを踏まえると、
\begin{align*} H_{\alpha }(\bar f) = S^{-1}(\alpha ) – \bar f(S^{-1}(\alpha ) ) + (1 + \rho )E(\bar f(X)) \leq S^{-1}(\alpha ) – f(S^{-1}(\alpha ) ) + (1 + \rho )E( f(X)) = H_{\alpha } (f) \end{align*}
ということが分かりました。
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