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数学
確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説
確率変数の二乗の確率密度関数の求め方を簡単に解説します。 【確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説】 連続型の確率変数を想定しています。まず最初に、適当な確率変数$latex X$に対して、\begin{align*} f(x) = \partial_x F(x)\end{... -
数学
多項式カーネルの性質・半正定値性や一次独立性の証明をわかりやすく解説
多項式カーネルの半正定値性と一次独立生の証明をわかりやすく解説します。 -
経済学
レバレッジ型ETFがなぜ逓減するかを数学的にわかりやすく解説
レバレッジ型ETFには「逓減(decay)」と呼ばれる現象が存在し、これは長期投資におけるリスク要因となります。逓減とは、オリジナルの指標ではレンジでもとの価格に戻ってきているのに、レバレッジ型ETFの価格はもとの価格よりも低くなってしまう現象のことを指しています。この記事では逓減が発生する理由や原因を数学的に解説します。 -
数学
離散一様分布の期待値と分散の導出をわかりやすく解説
この記事では、離散一様分布の期待値と分散の導出をわかりやすく解説します。 -
数学
「次の数列の一般項を求めよ」という問題が青少年の健全な育成を妨げる理由
小中高生向け数学の問題の中でも特に微妙なものの一つが、「次の数列の一般項を求めよ」という問題です。学生はしばしば、与えられた数列のパターンを見つけ、その一般項を導き出すよう求められます。しかし、この種の問題には答えが一意に定まらないという問題があります。 -
数学
Σsin(nx)/nが各点収束することをわかりやすく解説!!!
$latex \sum \frac{\sin nx}{n}$という級数が各点収束することを証明します。 -
数学
n次正方行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは一次独立であることの証明!!
n次正方行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは一次独立であることを証明します。 -
数学
忠実関手と充満関手の定義をわかりやすく解説
関手の忠実性と充満性とは、射の集合に制限した時に単射および全射となる関手のことである。 -
数学
三角関数のラプラス変換をわかりやすく解説!!
この記事では、sinやcosなどの三角関数のラプラス変換をわかりやすく解説します。 -
数学
1/(x^3+1)の不定積分をわかりやすく解説
この記事では$latex \frac{1}{x^3 + 1}$の不定積分をわかりやすく解説します。 -
経済学
最小二乗法の式を偏微分を用いて導出する方法をわかりやすく解説
最小二乗法は、実際のデータの値と予測値の誤差を最小化することによりモデルのパラメータを選ぶ方法のうちの一つです。この記事では最小二乗法の式を偏微分を用いて導出する方法をわかりやすく解説します。 -
数学
xe^(x^2)の微分とマクローリン展開を計算する裏技をわかりやすく解説
この記事では$latex xe^{x^2}$の微分とマクローリン展開をわかりやすく解説します。大学1年生の微積分の講義でしばしば扱われる関数であるので、暇な人は確認しておきましょう。 -
数学
e^{ax}とe^{bx}が一次独立であることの証明をわかりやすく解説!
この記事では、$latex a \neq b$であるとき、2つの指数関数$latex e^{ax}, e^{bx}$が一次独立であることを証明します。これを理解するためには、まず一次独立の定義から始め、次に関数空間における一次独立の概念を説明し、最後に実際の証明を行います。 -
数学
1/(e^x+1)の積分計算を超簡単にわかりやすく解説!!
$latex e^x$や$latex e^{-x}$の積分を計算することは難しくないですが、$latex \frac{1}{e^x + 1}$の積分を計算するのは若干難しいのではないでしょうか。この記事では、この積分計算をわかりやすく解説します。 -
数学
ポアソン分布とは?導出をわかりやすく解説
ポアソン分布はイベントの発生間隔が指数分布に従うと仮定したとき、一定の時間に発生するイベントの回数の分布を表現しています。この記事では、ポアソン分布の導出をわかりやすく解説します。 -
数学
(f(x))^xの微分の導出をわかりやすく解説
$latex (f(x))^x$の微分をどうやって計算するかを分かりやすく解説します。高校数学でこの微分を導出させられることは少ないでしょうが、大学生であれば1年生の微分積分の講義で扱うことは非常に多いでしょう。 -
数学
行列のアダマール不等式の証明をわかりやすく解説
行列のアダマール不等式は正方行列の行列式と列ベクトルの積の関係を与える不等式です。 -
数学
単射・全射・全単射の違いをわかりやすく解説
写像が単射・全射・全単射であるとはどういうことかについて、具体例を交えてわかりやすく解説します。大学数学の初めの段階では、関数や写像といった基本的な概念を学びますが、特に、単射であるか全射であるかということは非常に重要ですので、必ずマスターしておきましょう。 -
数学
ガンマ分布の意味や性質と導出をわかりやすく解説
ガンマ分布は、一定の発生確率をもつ独立なイベントが特定の回数発生するまでの待機時間が従う確率分布です。この分布は確率論や統計学における基本的なもので、その応用範囲は非常に広く、工学や経済学など多岐にわたります。この記事ではガンマ分布の意味や性質と導出をわかりやすく解説します。 -
数学
チェビシェフの不等式の証明をわかりやすく解説
チェビシェフの不等式は、確率変数が特定の値から離れている確率を評価する不等式です。確率論や統計学における基本的かつ重要な不等式です。 -
数学
連続な加法的関数が線形関数に限ることの証明をわかりやすく解説
加法的関数に連続性を仮定すれば、線形関数に限ることを証明します。 -
数学
行列の積が結合則を満たすことの証明をわかりやすく解説
行列の積が結合則を満たすことの証明をわかりやすく解説。数学の基礎である線形代数のうち、行列の積の性質は非常に重要です。今回は行列の積の性質のうち、結合側を証明します。 -
数学
二次形式の指数関数e^{ix^tAx}のフーリエ変換の証明
二次形式の指数関数e^{ix^tAx}のフーリエ変換の証明をわかりやすく解説します。このタイプの関数のフーリエ変換は、停留位相(定常位相)の方法において基本的な役割を果たします。 -
数学
Farkasの補題の証明をわかりやすく解説
Farkasの補題を証明します。これは線形計画問題や最適化問題で重要な補題で、凸解析の分離定理を用いて証明します。 -
経済学
最小分散ポートフォリオの投資比率の求め方・計算式をわかりやすく解説
最小分散ポートフォリオは、実現可能なポートフォリオのうち、分散(あるいは標準偏差・リスク)が最小化する投資比率を設定したポートフォリオのことを指します。 -
数学
ヤングの不等式の証明と等号成立条件をわかりやすく解説
ヤングの不等式は、非負実数の積を評価する不等式で、ヘルダーの不等式の証明に用いられることから有名です。証明は対数関数の凸性からイェンゼンの不等式を使って証明します。ヤングの不等式の等号成立条件についても証明します。 -
経済学
投資機会集合と効率的フロンティアを図と数式でわかりやすく解説
2資産による投資機会集合(investment-opportunity-set)と効率的フロンティア(Efficient Frontier、有効フロンティア)を図を用いて解説します。ポートフォリオ理論の中心的な要素であり、投資を行う上での戦略決定において重要な役割を果たします。 -
経済学
ポートフォリオのリスク分散効果の証明を2資産でわかりやすく解説
ポートフォリオのリスク分散効果とは、ポートフォリオのリスクが、ポートフォリオを構成する資産のリスクの投資比率に応じた単なる加重平均よりも小さくなることです。 -
数学
デルタ関数が緩増加超関数であることの証明
デルタ関数は超関数として定式化されますが、緩増加超関数であることが示せます。 -
数学
デルタ関数のフーリエ変換の証明をわかりやすく解説
この記事では、デルタ関数のフーリエ変換について説明します。 -
数学
三角関数(sin・cos)の総和の公式をわかりやすく解説
三角関数(sin・cos)の総和の公式をわかりやすく解説します。 -
数学
数列の平均・チェザロ平均の極限の証明をわかりやすく解説
チェザロ平均(チェザロへいきん、英: Cesàro mean, Cesàro average)とは、数列の最初の有限個の項から作られる算術平均のことです。数列の平均・チェザロ平均の極限についての命題をイプシロン・デルタ論法を用いてわかりやすく解説します。 -
数学
σ有限な測度の定義・性質・例をわかりやすく解説
σ有限な測度の定義と性質と具体的な例について解説します。測度論の基礎を理解し、この重要な概念について深く知ることで、より高度な数学や関連分野への理解を深めることができるでしょう。さあ、測度論の世界へと一緒に足を踏み入れてみましょう。 -
数学
微分演算子はエルミートではないが虚数単位iをかけるとエルミートになることの証明
微分演算子がエルミート演算子でない一方で、虚数単位$latex i$を掛けるとエルミート演算子に変わるという興味深い性質について解説します。この特性は数学だけでなく、量子力学の理解にも大きな影響を与えるため、科学や数学に興味がある方々にとって非常に重要な概念です。 -
数学
(logx)^2の微分・積分・計算方法をわかりやすく解説
自然対数(log x)を二乗する関数(logx)^2の微分・積分・計算方法について、わかりやすく解説します。 -
数学
ヘヴィサイド関数の微分がデルタ関数であることの証明
ヘヴィサイド関数の微分がデルタ関数であることの証明。特に信号処理や電磁気学において頻繁に遭遇する特殊な関数、ヘヴィサイド関数とデルタ関数についての理解を深めよう。 -
数学
フーリエ変換で微分と掛け算が交換することの証明
フーリエ変換の性質のうち、微分と掛け算が交換することを証明します。 時間領域の微分演算子と周波数領域の乗法演算子が交換可能ということが証明されます。これはフーリエ変換が微分方程式を代数方程式に変換する助けになり、微分方程式の解析を容易にします。 -
数学
微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明
微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明です。 -
数学
フルラニ積分(Frullani Integral)の証明
【フルラニ積分(Frullani Integral)の証明】 命題 $latex a, b >0$ とする。$latex \mathbb R \setminus 0 $ 上の実数値関数 $latex f$ は、微分可能かつ $latex \lim_{s \rightarrow \infty} f(s), \quad \lim_{s \rightarrow 0} f(s)$ が収束するなら... -
数学
e^{-a|x|}のフーリエ変換を計算
【e^{-a|x|}のフーリエ変換を計算】 採用しているフーリエ変換に応じて適当に定数倍してください。 1次元におけるフーリエ変換 $latex a > 0$ をパラメータとする$latex \mathbb R$ 上の関数 \begin{align*} a^{-a|x|} \end{align*} とする。(これをラ... -
数学
1/zが正則であることの証明をわかりやすく解説
複素数値関数$latex \frac{1}{z}$が正則であることを証明してみましょう。 -
数学
2階線型同次微分方程式(定数係数)の解き方をわかりすく解説
2階線型同次方程式、あるいは2階線型斉次方程式と呼ばれる微分方程式のうち、定数係数であるものの解き方について簡単に説明します。 -
数学
外測度の定義と性質をわかりやすく解説
外測度(outer measure)は、集合論や測度論における重要な概念で、ある意味で集合の「大きさ」をはかるものです。以下に、外測度の基本的な定義と性質を述べます。 -
数学
有界な集合の同相写像による像で有界でない集合の例
有界な集合の同相写像による像は有界な集合でしょうか。結論を先に述べると、反例があります。このことは、集合論や位相空間理論で一般的に扱われる話題です。 -
数学
全単射ならば閉写像と開写像が同値であることの証明
全単射が閉写像であることと開写像であることは同値であることを示します。 -
数学
無限級数∑1/(n^2-x) が収束するようなxの範囲
次の無限級数の収束を考えます。 \begin{align*} \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2 - x} \end{align*} この無限級数が収束する$latex x$の範囲を求めることが目的です。 【無限級数∑1/(n^2-x) が収束するようなxの範囲】 事前準備 まず、次の公式を思い出... -
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片側フーリエ変換の閉複素半平面への連続な拡張
片側フーリエ変換の閉複素半平面への拡張について、一緒に探求してみましょう。さらに、その拡張がどのように振る舞うのか、そして零点がどのように分布するのかについても探求します。 -
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L^pノルムの対数凸性の証明
$latex L^p$ノルムの対数凸性の証明をしてみましょう。 -
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正則な行列は零因子でないことの証明
なぜ正則な行列が零因子でないのか、数学的に見ていきましょう。 -
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L^1収束するならばフーリ変換が各点収束することの証明
$latex Ff(\xi)$の絶対値は、$latex f$の$latex L^1$ノルムに比例する定数で抑えられると言えます -
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測度が有限であればL^qならばL^p
測度が有限である場合、L^p空間とL^q空間の間には重要な関係が存在します。「測度が有限であればL^qならばL^p」というのは、測度が有限であるという条件のもとで、もし関数fがL^q空間に属しているならば、p ≤ q の場合、関数fは自動的にL^p空間にも属する、という意味です。これは、Holderの不等式と有限測度の性質から示されます。 -
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p乗可積分とq乗可積分ならばr乗可積分である条件を証明
L^pかつL^qならばL^rとなる条件、(p乗可積分とq乗可積分ならばr乗可積分である条件)を証明します。これは、解析学や測度論における重要な結果であり、関数の性質を理解する上で基本的なツールとなっています。 -
数学
トマエ関数の反対?有理数で連続で無理数で不連続な関数は存在するのか
トマエ関数は有理数において不連続である一方、無理数では連続であるという特徴的な性質をもつ関数です。この関数の存在が引き起こす疑問は、ある意味で反対な疑問「有理数で連続で無理数で不連続な関数は存在するのか?」というものです。 -
数学
実数値関数の不連続点は閉集合の可算和であることの証明
実数値関数の不連続点は閉集合の可算和であることの証明をします。このことは、関数の連続性を深く理解する上でもしかすると重要です。 -
経済学
望遠鏡和で数列の和を求める計算例
望遠鏡和(Telescoping sum)あるいは望遠鏡公式(Telescoping formula)と呼ばれる方法で数列の和や級数の値を計算してみましょう。 -
数学
再生核ヒルベルト空間のデルタ関数による特徴づけ
再生核ヒルベルト空間(Reproducing Kernel Hilbert Space、RKHS)は、数学や統計学、機械学習、特にサポートベクターマシンやカーネル法などの分野で広く活用されています。この空間は、特定の性質を持つ核を備えたヒルベルト空間であるという意味で、特別です。 -
数学
f(x, y) = yg(x)が原点で微分可能なこととg(x)が原点で連続なことは同値であることの証明
f(x, y) = yg(x)が原点で微分可能なこととg(x)が原点で連続なことは同値であることの証明 -
経済学
【確率過程】ほとんど確実に右連続な修正は区別できないことの証明
ほとんど確実に右連続な修正は区別できないことの証明を行いたいと思います。これは確率論において非常に重要な問題で、これに取り組むことで深い洞察を得ることができます。 -
経済学
ほとんど確実な事象との共通部分は確率を変えないことの証明
ほとんど確実な事象との共通部分は確率を変えないことを証明します。 このことは、確率論で非常に基本的な事実であるので、しっかりと押さえておきましょう。 -
数学
非正則な正方行列が零行列または零因子であることの証明
この記事では、非正則な正方行列が零行列または零因子であることを証明します。まず、いくつかの基本的な定義を整理し、その後で証明に進みます。 -
数学
【線形代数】次元定理の証明と準同型定理の証明
本記事では、次元定理についての証明を紹介します。次元定理は数学の重要な定理の一つであり、線型写像の核と像の次元の関係を示しています。 -
数学
定積分が定める関数はいつ連続関数になるか
定積分が定める関数の連続性について考えることは、関数の基本的な性質を理解する上で非常に重要なトピックです。この性質は、実解析における基本的な結果であり、微分積分学の理解にとっても鍵となります。 -
数学
積のボレル集合体とボレル集合体の積はいつ一致するかについての証明
積のボレル集合体とボレル集合体の積は、確率論や測度論における重要な概念である。ここで、「積のボレル集合体」とは、ふたつの位相空間の直積上におけるボレル集合の族を意味し、「ボレル集合体の積」は、それぞれの空間のボレル集合体のある種の積として定義される。 これら二つの概念は、一般的には異なるが、特定の条件の下で一致する。それは、各位相空間が第二可算(second-countable)である場合である。 -
経済学
正規分布の積率母関数の計算と期待値の証明をわかりやすく解説
積率母関数は、確率変数のモーメントを生成するための便利なツールです。特に、正規分布の場合、積率母関数は解析的に計算することが可能です。 -
経済学
対数正規分布の確率密度関数・期待値・分散の導出の証明
統計学や確率論に慣れ親しんでいる方なら、正規分布について何度も聞いたことがあることでしょう。この記事では、対数正規分布の確率密度関数と期待値と分散を導出してみようと思います。 -
数学
積分表示された複素関数の正則性について
この記事では、積分の形で表示されているような複素関数の正則性について紹介します。 -
数学
テイラーの定理: 積分形の剰余項の証明をわかりやすく解説
テイラーの定理のうち、剰余項が積分の形になっているものを紹介しようとおもいます。 -
数学
無限遠点で0に収束する連続関数が有界であることの証明
$latex \mathbb R$ 上で定義された無限遠点で0に収束する連続関数が有界であるという命題の証明を初心者向けに解説します。 -
数学
e^{-x}は急減少関数でないがe^{-x^2}は急減少関数であることの証明
この記事では、$latex e^{-x}$や$latex e^{-x^2}$が急減少関数であるかどうかを検証してみます。 -
数学
ピートルの不等式とその証明
ピートルの不等式(Pietro's inequality)の主張とその証明を解説します。 -
数学
斉次関数や同次関数の定義・性質を簡単解説
大学数学で登場する斉次関数・同次関数について簡単に解説。オイラーの定理の証明も書いてます。 -
数学
重み付き幾何平均の極限と対数の重み付き算術平均との関係を証明
重み付き幾何平均の極限と対数の重み付き算術平均のあいだにある関係についての命題を証明します。
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