この記事では、\(\frac{1}{x^3+1}\)の不定積分を部分分数分解で計算します。分母が0になる\(x=-1\)は定義域から除きます。
\(\frac{1}{x^3+1}\)の不定積分
\begin{align*} \int\frac{1}{x^3+1}\,dx =\frac{1}{3}\log|x+1| -\frac{1}{6}\log(x^2-x+1) +\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C \end{align*}
ただし\(x\ne-1\)、\(C\)は積分定数です。
1. 分母を因数分解する
三乗和の公式から
\begin{align*}x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\end{align*}
です。そこで、
\begin{align*} \frac{1}{x^3+1} =\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1} \end{align*}
とおきます。両辺に\((x+1)(x^2-x+1)\)を掛けると、
\begin{align*} 1 &=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)\\ &=(A+B)x^2+(-A+B+C)x+(A+C) \end{align*}
なので、係数を比較して
\begin{align*} A+B=0,\qquad -A+B+C=0,\qquad A+C=1 \end{align*}
を得ます。これを解くと、
\begin{align*}A=\frac13,\qquad B=-\frac13,\qquad C=\frac23\end{align*}
です。したがって、
\begin{align*} \frac{1}{x^3+1} =\frac{1}{3(x+1)} +\frac{-x/3+2/3}{x^2-x+1} \end{align*}
2. 対数微分の形と逆正接の形に分ける
二つ目の分子を、分母の微分\(2x-1\)を使って
\begin{align*} -\frac{x}{3}+\frac{2}{3} =-\frac16(2x-1)+\frac12 \end{align*}
と分けます。よって、
\begin{align*} \int\frac{1}{x^3+1}\,dx &=\frac13\int\frac{1}{x+1}\,dx -\frac16\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}\,dx +\frac12\int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx \end{align*}
ここで平方完成すると、
\begin{align*} x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34 \end{align*}
です。したがって、
\begin{align*} \frac12\int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx &=\frac12\int\frac{1}{(x-\frac12)^2+(\frac{\sqrt3}{2})^2}\,dx\\ &=\frac{1}{\sqrt3}\tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt3}\right) \end{align*}
となり、最初に示した答えが得られます。
3. 答えを微分して確認する
不定積分の答えを微分すると、
\begin{align*} \frac{1}{3(x+1)} -\frac{2x-1}{6(x^2-x+1)} +\frac{1}{2(x^2-x+1)} =\frac{1}{x^3+1} \end{align*}
となり、元の被積分関数に戻ります。なお、\(\int\frac{1}{x+1}dx\)は\(x<-1\)でも扱えるように\(\log|x+1|\)と書くのが正確です。
コメント
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6行目の最後の項、dxではなくdyですかね
ありがとうございます、修正いたしました。
非常に助かります。