微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明

微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明を書きます。

微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明

1次元の場合をみてみます。\(\mathcal D\) でコンパクトな台をもつ\(\mathbb R\) 上の滑らかな関数全体を表します。

以下の投稿を参考にしました。

少しだけ自分で補足を加えました。

事前準備：原始関数の存在と積分が消えることの必要十分性

\(f \in \mathcal D\) に対して、

(1)に対して\(F \in \mathcal D\) で\(F^\prime = f\) を満たすものが存在する。

(2)

\begin{align*} \int_{\mathbb R} f(x) dx = 0\end{align*}

であること。

は必要十分です。

(1)ならば(2)は, \(\int_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)\) なので、\(a, b\) の極限を考えることで示されます。

(2)ならば(1)は、

\begin{align*} F(x) = \int_{-\infty}^x f(s) ds \end{align*}

と定めると、\(F\) は滑らかであることが確認できます。また、

十分大きい\(R > 0\) をとれば、

\begin{align*}\int_{-\infty}^{-R} f(s) ds = \int_{-\infty}^{-R} 0 ds = 0 \end{align*}

であることと、

\begin{align*} 0 = \int_{-\infty}^\infty f(s) ds = \int_{-\infty}^R f(s) ds + \int_{R}^{\infty} f(s) ds = F(R) + 0 \end{align*}

であることから、\(F\) はコンパクトな台を持つことも確かめられました。

微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明

\(u\) を微分が\(0\) になる超関数とします。

任意の\(f \in \mathcal D\) をとります。\(\varphi \in \mathcal D\) で\(\int_\mathbb R \varphi = 1\) を満たすものを取ります。

\begin{align*} g = f – (\int_\mathbb R f dx) \varphi \end{align*}

と定めると、

\begin{align*} \int_{\mathbb R } g dx = 0 \end{align*}

となることが確かめられます。

従って、事前準備のところで書いたことから\(G \in \mathcal D\) で

\begin{align*} G^\prime = g \end{align*}

を満たすものがとれます。\(u\) の超関数としての微分が\(0\) であることから、

\begin{align*} 0 &= (u, G^\prime) = (u, g ) \\&=(u, f – (\int_\mathbb R f dx) \varphi ) \end{align*}

が得られます。従って、

\begin{align*} (u, f) = (u, \varphi) (\int_\mathbb R f dx) = ((u, \varphi)1, f) \end{align*}

が得られます。

\begin{align*} (u, \varphi)1 \end{align*}

は定数関数なので、無事主張が従います。