フーリエ変換で微分と掛け算が交換することの証明

2023年7月1日2023年7月23日

フーリエ変換の性質のうち、微分と掛け算が交換することを証明します。

時間領域の微分演算子と周波数領域の乗法演算子が交換可能ということが証明されます。これはフーリエ変換が微分方程式を代数方程式に変換する助けになり、微分方程式の解析を容易にします。

フーリエ変換で微分と掛け算が交換することの証明

微分を外にだす

$f$ を$\mathbb R$ 上の急減少関数とします。

\begin{align*} \int e^{- i \xi x } \partial_x f(x) dx = i \xi \int e^{- i \xi x } f(x) dx \end{align*}

が成り立ちます。

実際、部分積分を行うと

\begin{align*} \int e^{- i \xi x } \partial_x f(x) dx &= \lbrack e^{-i \xi x } f(x) \rbrack_{-\infty}^\infty – (- i \xi) \int_{\mathbb R} e^{- i \xi x } f(x) dx \\&= i \xi \int e^{- i \xi x } f(x) dx \end{align*}

となります。

掛け算を外にだす

$f$ を$\mathbb R$ 上の急減少関数とします。

\begin{align*} \int e^{- i \xi x } x f(x) dx = i \partial_\xi \int e^{- i \xi x } f(x) dx \end{align*}

が成り立ちます。

実際、

\begin{align*}i \partial_\xi \int e^{- i \xi x } f(x) dx = \int i \partial_\xi e^{- i \xi x } f(x) dx = \int e^{- i \xi x } x f(x) dx \end{align*}

です。

掛け算と微分を同時に外に出す

$f$ を$\mathbb R$ 上の急減少関数とします。

\begin{align*} \int_\mathbb R e^{-i \xi x } \left(\partial_x (x f) \right) dx = i\xi \left( i \partial_x \int_\mathbb R e^{-i \xi x } f(x) dx \right) \end{align*}

となります。

別に必要はないですが、わかりやすくするために、

\begin{align*} g(x) = xf(x) \end{align*}

とします。

\begin{align*}\int_\mathbb R e^{-i \xi x } \left(\partial_x (x f) \right) dx
&= \int_{\mathbb R} e^{-i \xi x } \partial_x g(x) dx
\\&= i\xi \left( \int_\mathbb R e^{-i \xi x } g(x) dx \right)
\\&= i \xi \left( \int_\mathbb R e^{-i \xi x } xf(x) dx \right)
\\&= i\xi \left( i \partial_x \int_\mathbb R e^{-i \xi x } f(x) dx \right)\end{align*}

と計算すれば主張が従います。また、

\begin{align*} \int_\mathbb R e^{-i \xi x } \left( x (\partial_x f) \right) dx = i \partial_\xi \left( i x \int_\mathbb R e^{-i \xi x } f(x) dx \right) \end{align*}

ということもわかります。計算してみましょう。

\begin{align*} g(x) = \partial_x f (x) \end{align*}

とすれば、

\begin{align*} \int_\mathbb R e^{-i \xi x } \left( x (\partial_x f) \right) dx
&= \int_\mathbb R e^{-i \xi x } \left( x g(x) \right) dx
\\&= i \partial_\xi \int_\mathbb R e^{-i \xi x } g(x) dx
\\&= i \partial_\xi \int_\mathbb R e^{-i \xi x } \partial_x f (x) dx
\\&= i \partial_\xi \left( i \xi \int_\mathbb R e^{-i \xi x } f (x) dx \right) \end{align*}

となり、求めている結果が得られました。