(logx)^2の微分・積分・計算方法をわかりやすく解説

(logx)^2（log xの二乗）に焦点を当てて、その微分・積分・計算方法をわかりやすく解説していきたいと思います。

(logx)^2の微分・積分・計算方法をわかりやすく解説

さて、

という関数の微分

と、

不定積分

を計算してみましょう。

念の為に補足しておくと、

\begin{align*} \log (x^2)\end{align*}

と

\begin{align*} (\log x)^2 \end{align*}

は異なる関数です。

前者は対数関数の性質から\(\log (x^2) = 2 \log x \) です。

事前準備

事前準備として、合成関数の微分

\begin{align*}\partial_x f(g(x)) = f^\prime (g(x)) g^\prime(x) \end{align*}

と、\(\log x\) の微分

\begin{align*} \partial_x \log x = \frac{1}{x}\end{align*}

を思い出しておきましょう。

log xの二乗の微分

事前準備を踏まえると

\begin{align*} \partial_x (\log x)^2 = 2 \log x \partial_x \log x = 2 \log x \frac{1}{x} \end{align*}

となります。

つまり、

が得られました。

事前準備その2

部分積分

\begin{align*} \int f^\prime (x) g(x) dx = f(x) g(x) – \int f(x) g^\prime dx \end{align*}

を思い出しておきましょう。

また、これを用いた\(\log x \) の積分

\begin{align*} \int \log x dx = x \log x – \int x \frac{1}{x }dx = x \log x – x \end{align*}

を思い出しておきましょう。

log xの二乗の積分

それでは計算してみましょう。

\begin{align*} \partial_x (\log x) ^2 = \frac{2 \log x }{x}\end{align*}

を思い出しておきましょう。

\begin{align*} \int (\log x)^2 dx &= x (\log x)^2 – \int x \frac{2 \log x }{x} dx
\\&= x(\log x)^2 – 2\int \log x dx
\\&= x( \log x)^2 – 2\left( x \log x – x \right)
\\&= x (\log x)^2 – 2 x \log x + 2 x\end{align*}

と計算できます。

まとめると、

という結論が得られます。

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