sinとcosの積の積分の解き方をわかりやすく解説！

2023年11月2日2023年11月3日

三角関数の微分や積分を学習している途中で、三角関数の積を積分するような練習問題に遭遇することがあります。この記事ではそのような積分の計算方法を具体例とともにわかりやすく解説します。

sinとcosの積の積分の解き方をわかりやすく解説！

三角関数の積の積分とは次のような積分です。

命題:三角関数の積の積分

\begin{align*} \int \sin (ax) \cos (bx) = \frac{1}{2} \left(\frac{- 1}{a + b}\cos (a + b) x + \frac{- 1}{a – b}\cos (a – b) x \right) \end{align*}
(※積分定数は省略)

この公式を導出する方法を解説します。
まず初めに三角関数の積や和についての公式を復習してきましょう。

命題:三角関数の和の公式

\begin{align*} \sin(A + B) &= \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \cos (A + B) &= \cos A \cos B – \sin A \sin B \\ \sin(A – B) &= \sin A \cos B – \cos B \sin A \\ \cos (A – B) &= \cos A \cos B – \sin A \sin B \end{align*}

この公式自体は
\begin{align*} &\left( (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B)\right) = e^{i A } e^{i B} = e^ {i (A + B)} = \cos(A + B) + i \sin (A + B) \\ &\left( (\cos A + i \sin A)(\cos B – i \sin B)\right) = e^{i A } e^{-iB} = e^{i (A – B)} = \cos(A – B) + i \sin (A – B) \end{align*}
から実部と虚部を比較することで直ちに得られます。

和の公式から次の積の公式が得られます。

命題:三角関数の積の公式

\begin{align*} \sin A \cos B = \frac{1}{2}\left(\sin(A + B) + \sin (A – B) \right) \end{align*}

この公式を利用すると、
\begin{align*} \int \sin (ax ) \cos (bx ) dx = \int \frac{1}{2}\left(\sin(a + b)x + \sin (a – b)x \right) dx
\\ = \frac{1}{2} \left(\frac{- 1}{a + b}\cos (a + b) x + \frac{- 1}{a – b}\cos (a – b) x \right) \end{align*}
という結果を得られます。