重み付き幾何平均の極限と対数の重み付き算術平均との関係を証明

2023年3月25日2024年5月4日

実数\(x_1, \ldots , x_n\) の重み\(w_1, \ldots , w_n\) によるパラメータ\(t\) の重み付き幾何平均は

\begin{align*} \left( \sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t \right)^{1/t} \end{align*}

により定義されます。ただし、重みですので\(\sum_i w_i = 1\) であることを要請しておきます。

ここで、パラメータについて\(t \rightarrow 0\) とした極限についてみてみましょう。

\begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0} \left( \sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t \right)^{1/t} &= \lim_{t \rightarrow 0} \exp \left( \frac{\log \left( \sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t \right)}{t} \right) \\&= \exp \left( \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\log \left( \sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t \right)}{t} \right) \\&= \exp \left( \lim_{t \rightarrow 0} \frac{ \left( \sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t \log x_i \right)}{\sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t} \right) \\&= \exp \left( \frac{ \left( \sum_{i = 1} ^n w_i \log x_i \right)}{\sum_i w_i} \right) \\&= \exp \left( \frac{ \left( \sum_{i = 1} ^n w_i \log x_i \right)}{1} \right) \\&= \exp \left( \sum_{i = 1} ^n w_i \log x_i \right) \end{align*}

が成り立ちます。途中でロピタルの定理を用いています。

したがって、重み付き幾何平均のパラメータを\(0\) に近づけた時の極限は、対数の重み付き算術平均のexponentialと一致します。