実数\(x_1, \ldots , x_n\) の重み\(w_1, \ldots , w_n\) によるパラメータ\(t\) の重み付き幾何平均は
\begin{align*} \left( \sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t \right)^{1/t} \end{align*}
により定義されます。ただし、重みですので\(\sum_i w_i = 1\) であることを要請しておきます。
ここで、パラメータについて\(t \rightarrow 0\) とした極限についてみてみましょう。
\begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0} \left( \sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t \right)^{1/t} &= \lim_{t \rightarrow 0} \exp \left( \frac{\log \left( \sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t \right)}{t} \right) \\&= \exp \left( \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\log \left( \sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t \right)}{t} \right) \\&= \exp \left( \lim_{t \rightarrow 0} \frac{ \left( \sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t \log x_i \right)}{\sum_{i = 1} ^n w_i x_i^t} \right) \\&= \exp \left( \frac{ \left( \sum_{i = 1} ^n w_i \log x_i \right)}{\sum_i w_i} \right) \\&= \exp \left( \frac{ \left( \sum_{i = 1} ^n w_i \log x_i \right)}{1} \right) \\&= \exp \left( \sum_{i = 1} ^n w_i \log x_i \right) \end{align*}
が成り立ちます。途中でロピタルの定理を用いています。
したがって、重み付き幾何平均のパラメータを\(0\) に近づけた時の極限は、対数の重み付き算術平均のexponentialと一致します。
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