外測度の定義と性質をわかりやすく解説

外測度(outer measure)は、集合論や測度論における重要な概念で、ある意味で集合の「大きさ」をはかるものです。以下に、外測度の基本的な定義と性質を述べます。

外測度の定義と性質

まず最初に外測度の定義を確認しましょう。
標準的な記号にしたがい\(\mathcal P(X)\)で\(X\)の冪集合、すなわち部分集合全体を表すことにします。

測度は可測空間に備えるもので、σ代数を始域とする写像である一方で、外測度は単に冪集合を始域とする写像です。

外測度の例1: ルベーグ外測度

\(\mathbb R\)の冪集合を\(\mathbb 2^{\mathbb R}\)とします。
\([a, b) \subset \mathbb R\)のような集合を半開区間といいます。
\(A \in \mathbb R\)に対して、
\begin{align*} \mu^* (A) = \inf \{ \sum_{i = 1}^\infty | J_i| \mid A \subset \bigcup_{i = 1}^\infty J_i \,\, J_i\textrm{は半開区間} \}\end{align*}
と定めると、これは定義から明らかに外測度になります。
これはルベーグ外測度といい、みんなが一番よくしっている外測度の例です。

外測度の例2

\(\mathcal L\)を1次元ルベーグ測度とし、\(p: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^1\)を第一成分への射影とします。
\(\mathbb R^2\)に、\(A \subset \mathbb R^2\)に対して
\begin{align*} \mu (A) = \mathcal L (p (A)) \end{align*}
により写像\(\mu: \mathcal P(\mathbb R^2) \rightarrow [0, \infty]\)を定めると、外測度です。
しかしながら、これは仮にボレル集合族上に制限しても測度になりません。

測度でないことは次のように確かめることができます。
\begin{align*} &A_1 = [0,1] \times [0, 1] \\ & A_2 = [0, 1] \times [3, 4] \end{align*}
とすると、\(A_1, A_2\)は互いに共通部分をもたない可測集合です。
仮に、\(\mu\)が測度であるならば、\(\mu (A_1 \cup A_2 ) = \mu (A_1 ) + \mu(A_2)\)が成り立つはずですが、\(\mu\)が射影をしてから1次元ルベーグ測度を取るので
\begin{align*} \mu (A_1 \cup A_2 ) = \mu(A_1 ) = \mu(A_2) = \mathcal L ([0, 1]) = 1 \end{align*}
となるので、\(\mu (A_1 \cup A_2 ) = \mu (A_1 ) + \mu(A_2)\)は成り立ちません。
従って、測度にはならないことがわかります。

性質1：外測度の和は外測度

\(m_1^*, m_2^*\) を\(X\) の外測度とします。

このとき\(A \subset X\) に対して

\begin{align*} m^* (A) = m_1^* (A) + m_2^* (A) \end{align*}

により定まる写像はふたたび外測度です。 実際、

\begin{align*}m_1^* + m_2^* (\varnothing) = 0 \end{align*}

です。 単調性を確認しましょう。\(A \subset B\) ならば、

\begin{align*} m_1^* + m_2^* (A) = m_1^* (A) + m_2^* (A) \leq m_1^* (B) + m_2^* (B) = m_1^* + m_2^* (B) \end{align*}

また、可算個の集合\(\{A_n \}\) に対して、

\begin{align*} m_1^* + m_2^* (\bigcup_{n \in \mathbb N} A_n) \leq m_1^*(\bigcup_{n \in \mathbb N} A_n) + m_2^* (\bigcup_{n \in \mathbb N} A_n) \leq \sum_{n \in \mathbb N} m_1^* (A_n) + \sum_{n \in \mathbb N} m_2^* (A_n) = \sum_{n \in \mathbb N} m_1^* + m_2^* (A_n) \end{align*}

となります。

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