\(e^x\)や\(e^{-x}\)の積分を計算することは難しくないですが、\(\frac{1}{e^x + 1}\)の積分を計算するのは若干難しいのではないでしょうか。この記事では、この積分計算をわかりやすく解説します。
目次
1/(e^x+1)の積分計算を超簡単にわかりやすく解説！！
積分計算
\begin{align*} \int \frac{1}{e^x + 1} dx = x – \log(e^x + 1) + C \end{align*}
が成り立ちます(Cは積分定数)。
まず、 \begin{align*} \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx &= \int \frac{(e^x + 1) – e^x}{e^x + 1} \, dx \\ &= \int \left( 1 – \frac{e^x}{e^x + 1} \right) \, dx \\ &= x – \int \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx \end{align*} と変形します。
\begin{align*} \frac{d}{dx} \log(e^x + 1) = \frac{e^x}{e^x + 1} \end{align*}
であるので、
\begin{align*} \int \frac{1}{e^x + 1} dx = x – \log(e^x + 1) + C \end{align*}
となります(Cは積分定数)。
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