冪等行列Aはrankとtraceが一致することの証明をわかりやすく解説!!!

この記事では「冪等行列ならばrankとtraceが一致すること」の証明をわかりやすく解説します。
冪等行列を\(A\)で表記することにします。

行列のtraceは、固有値の総和に一致することを思い出しておきます。
冪等行列\(A\)の固有値は、\(0, 1\)のみであったことを思い出しておきます。
というのも、\(0\)ベクトルでない固有ベクトル\(x\neq 0\)に対して、固有値を\(\lambda\)で表記すると、
\begin{align*} A^2 x = \lambda^2 x \end{align*}
となる一方で、\(A^2 = A\)なので、
\begin{align*} A^2 x = A x = \lambda x \end{align*}
となります。
従って、
\begin{align*} \lambda^2 = \lambda \end{align*}
より、\(\lambda(\lambda – 1) = 0 \)なので、\(\lambda = 0,1\)とわかります。

固有値\(1\)の固有空間が、\(\text{Im}A\)であることを確認します。
固有値\(1\)の固有空間を\(W(1)\)と記述することにします。
\begin{align*} \text{Im}A = \{Ax \mid x \in \mathbb R^n \}\end{align*}
なので、任意の\(Ax \in \mathbb \text{Im}A\)に対して、
\begin{align*} A(Ax) = A^2 x = Ax \end{align*}
なので、\(\text{Im}A \subset W(1)\)です。また\(x \in W(1)\)に対して、
\begin{align*} x = Ax \end{align*}
であることがわかります。すなわち、\(x \in \text{Im}A\)であることがわかったため、
\begin{align*} \text{Im}A= W(1)\end{align*}
であることがわかりました。
従って、
\begin{align*} \text{dim Im}A= \text{dim} W(1) \end{align*}
となりますが、
\begin{align*} \text{rank} A = \text{dim Im}A\end{align*}
ですし、
\begin{align*} \text{dim} W(1)\end{align*}
は固有値1の重複度と一致します。\(A\)の固有値は\(0,1\)のみなので、固有値の総和は1の重複度と一致するため、
\begin{align*}\text{rank} A = A\text{の固有値の総和} \end{align*}
となり、\(A\)の固有値の総和は\(\text{trace}A\)と一致するので、証明が終了します。

 

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