ガンマ分布の意味や性質と導出をわかりやすく解説

ガンマ分布（gamma distribution）は、0より大きい連続量を表す確率分布です。形状が正の整数の場合は、一定の率で起きるイベントが指定回数発生するまでの待ち時間として解釈できます。一般の正の形状にも拡張でき、工学・経済学・ベイズ統計などで広く使われます。

ガンマ分布の意味や性質と導出をわかりやすく解説

ガンマ分布は、パラメータ\(\lambda >0, k>0\)をもつ確率密度関数で定義される分布です。

補足ですが、尺度パラメータ\(\theta>0\)を使って
\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}} & (x > 0) \\ 0 & (x \leq 0) \end{cases} \end{align*}
と定義する流儀もあります。両者は\(\lambda=1/\theta\)の関係です。資料やソフトウェアによって「rate」と「scale」が異なるため、数値を代入する前にどちらの表記かを確認しましょう。

この確率密度関数を見ただけでは、ガンマ分布がどういう特性を持つのか、またどのような現象に対して用いることができるのかを把握するのは難しいかもしれません。

では、より基本的な分布である指数分布からスタートしてガンマ分布の導出を考えてみましょう。

指数分布

指数分布は、一定の率で起きるイベントについて、次の発生までの待ち時間を表す分布です。例として、コールセンターに次の電話が到着するまでの時間などが挙げられます。

指数分布はガンマ分布の特別な場合とも言えます。
指数分布はパラメータ\(k\)が1であるガンマ分布としてとらえることができます。

指数分布からガンマ分布を導出する（形状が整数の場合）

ここでは\(k\)を正の整数とします。\(X_1,X_2,\ldots,X_k\)を率\(\lambda\)の指数分布に従う独立な確率変数とすると、和\(X_1+X_2+\cdots+X_k\)は形状\(k\)、率\(\lambda\)のガンマ分布に従います。この整数形状のガンマ分布をアーラン分布ともいいます。

このことを証明するために、まず\(X_1 + X_2\)が従う分布を考えてみましょう。
それぞれ独立に指数分布に従う2つの確率変数の和の密度関数は次のようにして計算されます。
\(t \geq 0\)のとき
\begin{align*} f_{X_1 + X_2}(t) &= \int_{-\infty}^\infty f_1(t -x)f_2(x)dx
\\&= \int_{0}^t \lambda e^{-\lambda(t-x)}\lambda e^{-\lambda x}dx
\\&= \lambda^2 t e^{-\lambda t} \end{align*}
ただし、\(f_1, f_2\)はそれぞれ\(X_1, X_2\)の密度関数を表しています。
\(t < 0\)の時は\(0\)です。

続けて、\(X_1 + X_2 + X_3\)が従う分布を考えてみましょう。
これは\(X_1 + X_2\)と\(X_3\)の和と考えることで、
\(t \geq 0\)のとき
\begin{align*} f_{X_1 + X_2 + X_3}(t) &= \int_{-\infty}^\infty f_3(t-x) f_{12}(x)dx
\\&= \int_{0}^t \lambda e^{-\lambda (t-x)} \lambda^2 x e^{-\lambda x}dx
\\&= \lambda^3 \frac{1}{2}t^2 e^{-\lambda t} \end{align*}
ただし、\(f_{12}, f_3\)はそれぞれ\(X_1 + X_2, X_3\)の密度関数を表しています。
\(t < 0\)の時は\(0\)です。
(\(\int_{-\infty}^\infty f_{12}(t-x) f_{3}(x)dx\)と\(\int_{-\infty}^\infty f_{3}(t-x) f_{12}(x)dx\)は一致するので、
計算しやすい前者を採用しました。)

これを次々に繰り返すことで(数学的帰納法で容易に確かめられる)、
\(X_1 + X_2 + \cdots + X_k\)の密度関数が
\begin{align*} f_{X_1 + X_2 + \cdots + X_k}(t) = \begin{cases} \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)}t^{k-1}e^{-\lambda t} & (t \geq 0) \\ 0 & (t <0 ) \end{cases} \end{align*}
であることが導出できます。
これはガンマ分布の密度関数と一致していることが見てわかります。

ガンマ分布の解釈

形状\(k\)が正の整数なら、率\(\lambda\)の指数分布に従う独立な待ち時間\(X_1,X_2,\ldots,X_k\)の和がガンマ分布に従います。このことを具体的なストーリーとともに解釈してみましょう。

ある人が女性をデートに誘う状況を考えてみましょう。
ここでは、女性とデートの約束を取り付けるまでの待ち時間が指数分布に従うとします。
さらに、一度デートをしてから、次に再びデートの約束を取り付けるのにかかる時間も全く同じ指数分布に従うと仮定します。
ここで、これらのランダムな間隔が互いに独立であるとします。つまり、前回のデートの約束が次回のデートの約束に直接的な影響を及ぼさないという仮定を課しておきます。

このような設定を考えた時、女性と\(k\)回デートできるまでの時間がガンマ分布に従います。

ガンマ分布はどういう時に登場する？サッカーにおける例

例えば上記の研究のアブストラクトを見てみると、

In this study, the stochastic properties of player and team ball possession times in professional football matches are examined. Data analysis shows that player possession time follows a gamma distribution and the player count of a team possession event follows a mixture of two geometric distributions. We propose a formula for expressing team possession time in terms of player possession time and player count in a team’s possession, verifying its validity through data analysis. Furthermore, we calculate an approximate form of the distribution of team possession time, and study its asymptotic property.

Yamamoto, K., Uezu, S., Kagawa, K., Yamazaki, Y., & Narizuka, T. (2023). Statistical analysis of player and team ball possession time in football. arXiv preprint arXiv:2308.05460.

論文の中身を精査したわけではないですが

ガンマ分布は日常の中に隠れているのですね。

ガンマ分布とアーラン分布の関係

ガンマ分布と酷似する分布を見たことがあれば、それはアーラン分布でしょう。
アーラン分布とは、ガンマ分布のうち形状パラメータが正の整数であるものをいいます。
つまり、アーラン分布全体はガンマ分布全体に含まれています。

ガンマ分布の密度関数は
\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1}e^{-\lambda x} & (x > 0) \\ 0 & (x \leq 0) \end{cases} \end{align*}
でしたが、\(k\)が正の整数のときは\(\Gamma(k) = (k-1)!\)であるので、
確かにアーラン分布の密度関数と一致することが確かめられます。

ガンマ分布とカイ二乗分布の関係

自由度\(n\)のカイ二乗分布とは、独立な標準正規分布の二乗を\(n\)個足し合わせた確率変数が従う分布です。より正確には以下のように定められます。

形状パラメータが\(k\)で率パラメータが\(\lambda\)であるガンマ分布の密度関数は
\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1}e^{-\lambda x} & (x > 0) \\ 0 & (x \leq 0) \end{cases} \end{align*}
でした。形状を\(k=n/2\)、率を\(\lambda=1/2\)とすると、自由度\(n\)のカイ二乗分布と一致します。

つまり、カイ二乗分布はガンマ分布の特別な場合であるといえます。

ガンマ分布の期待値の求め方

ガンマ分布に従う確率変数\(Z\)の期待値を計算してみましょう。

定義に従って計算すると、
\begin{align*} E(Z) &= \int_{-\infty}^\infty x \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1}e^{-\lambda x} dx
\\&=\int_{0}^\infty x \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1}e^{-\lambda x} dx
\\&= \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} \int_{0}^\infty x^{k}e^{-\lambda x} dx
\\&= \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} \int_{0}^\infty \left( \frac{\xi}{\lambda}\right) ^{k}e^{- \xi} \frac{1}{\lambda}d\xi
\\&= \frac{1}{\Gamma(k)} \frac{1}{\lambda} \int_{0}^\infty \xi ^{k}e^{- \xi} d\xi\end{align*}
となります。

ガンマ関数の定義から
\begin{align*} \Gamma(k+1) = \int_{0}^\infty \xi ^{k}e^{- \xi} d\xi\end{align*}
であったことと、
\begin{align*} \Gamma(k+1) = k \Gamma(k) \end{align*}
であったことを思い出しておくと、
\begin{align*} E(Z) = \frac{1}{\Gamma(k)} \frac{1}{\lambda} \int_{0}^\infty \xi ^{k}e^{- \xi} d\xi = \frac{k}{\lambda}\end{align*}
と計算することができます。

形状\(k\)が正の整数の場合は、\(Z\)を同じ指数分布に従う独立な確率変数\(X_1,\ldots,X_k\)の和で表し、
\begin{align*} E(Z) &= E(X_1 + \cdots + X_k)
\\&= E(X_1) + \cdots + E(X_k)
\\&= \frac{k}{\lambda} \end{align*}
と確認することもできます。

ガンマ分布の分散の求め方

ガンマ分布に従う確率変数\(Z\)の分散を計算してみましょう。

\begin{align*} V(Z) = E(Z^2) – (E(Z))^2 \end{align*}
という式を利用して求めることにします。

\begin{align*} E(Z^2) &= \int_{-\infty}^\infty x^2 \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1}e^{-\lambda x} dx
\\&=\int_{0}^\infty x^2 \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1}e^{-\lambda x} dx
\\&= \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} \int_{0}^\infty x^{k+1}e^{-\lambda x} dx
\\&= \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} \int_{0}^\infty \left( \frac{\xi}{\lambda}\right) ^{k+1}e^{- \xi} \frac{1}{\lambda}d\xi
\\&= \frac{1}{\Gamma(k)} \frac{1}{\lambda^2} \int_{0}^\infty \xi ^{k+1}e^{- \xi} d\xi
\\&= \frac{1}{\Gamma(k)}\frac{1}{\lambda^2}\Gamma(k+2)
\\&= \frac{(k+1)k}{\lambda^2} \end{align*}
となります。

一方で、
\begin{align*} (E(Z))^2 = \left(\frac{k}{\lambda} \right) ^2 \end{align*}
であったので、

\begin{align*} V(Z) &= E(Z^2) – (E(Z))^2 \\& = \frac{(k+1)k}{\lambda^2} – \left(\frac{k}{\lambda} \right) ^2 \\&= \frac{k}{\lambda^2} \end{align*}
と求めることができました。

形状\(k\)が正の整数の場合は、指数分布の独立な和として
\begin{align*} V(Z) &= V(X_1 + \cdots + X_k)
\\&= V(X_1) + \cdots + V(X_k)
\\&= \frac{k}{\lambda^2} \end{align*}
と確認することもできます。

ガンマ分布の再生性

再生性とは、特定の種類の分布に従う2つの確率変数を足し合わせたときに、また同じ種類の分布に従うという性質のことをいいます。
ガンマ分布は再生性をもちます。

独立性から積率母関数は積になるので、\(t<\lambda\)に対して
\begin{align*} M_{X+Y}(t) &=M_X(t)M_Y(t)\\ &=\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^k \cdot\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^l\\ &=\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^{k+l} \end{align*}
です。これは形状\(k+l\)、率\(\lambda\)のガンマ分布の積率母関数なので、\(X+Y\sim\Gamma(k+l,\lambda)\)です。この証明は\(k,l\)が正の整数でない場合にも使えます。

ガンマ分布の積率母関数の求め方

ガンマ分布に従う確率変数\(X\)の積率母関数を計算してみましょう。

\(t<\lambda\)のとき、
\begin{align*}M_X(t) &= E(e^{tX})
\\&= \int_0^\infty e^{tx} \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1}e^{-\lambda x} dx
\\&= \int_0^\infty \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1}e^{-(\lambda -t)x} dx
\\&= \frac{\lambda^k}{(\lambda-t)^k} \int_0^\infty \frac{(\lambda-t)^k}{\Gamma(k)} x^{k-1}e^{-(\lambda -t)x} dx
\\&= \frac{\lambda^k}{(\lambda-t)^k} \end{align*}

ガンマ分布の逆数が逆ガンマ分布に従うことの証明

ガンマ分布の逆数が従う分布を逆ガンマ分布といい、正確には次のように定められます。

\(X \sim \Gamma(k, \lambda)\)とします。
\(\frac{1}{X}\)の密度関数を求めてみましょう。

\begin{align} P(\frac{1}{X} \leq x) &= P(\frac{1}{x} \leq X) = 1 – P(X \leq \frac{1}{x}) \\&= 1 – \int_0^{\frac{1}{x}} \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1}e^{-\lambda x} dx \end{align}
ですので、
\begin{align} \partial_x P(\frac{1}{X} \leq x) &= – \frac{-1}{x^2} \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} \frac{1}{x}^{k-1}e^{-\lambda \frac{1}{x}} \\&= \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{-k-1}e^{-\lambda \frac{1}{x}} \end{align}
となります。

累積関数\(P(\frac{1}{X} \leq x)\)の微分が密度関数であるので、確かにガンマ分布に従う確率変数の逆数が逆ガンマ分布に従います。

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