関手の忠実性と充満性とは、射の集合に制限した時に単射および全射となる関手のことである。
目次
忠実関手と充満関手の定義をわかりやすく解説
忠実性と充満性の定義を確認する前に、局所的に小さい圏の定義を確認しておきましょう。
\(\mathcal C\)を圏とするとき、\(\textrm{Ob}\mathcal C\)で対象を表し、
\(x, y \in \textrm{Ob}\mathcal C\)に対して、\(\textrm{Hom}(x, y)\)で\(x\)から\(y\)への射全体を表すことにします。
定義: 局所的に小さい圏
圏\(\mathcal C\)は、任意の\(x, y \in \textrm{Ob} \mathcal C\)に対して、
\begin{align*} \textrm{Hom}(x, y) \end{align*}
が集合であるときに、\(\mathcal C\)は局所的に小さい圏であるという。
それでは、忠実性と充満性の定義を確認しましょう。
定義: 忠実性と充満性
\(\mathcal C, \mathcal D\)を局所的に小さい圏とし、\(F: \mathcal C \rightarrow \mathcal D\)を関手とする。
任意の\(x, y \in \textrm{Ob}\mathcal C\)に対して、
\begin{align*} F: \textrm{Hom}(x, y) \rightarrow \textrm{Hom}(Fx, Fy) \end{align*}
が単射であるとき、忠実(faithfull)であるという。また、全射であるとき、充満(full)であるという。
コメント