行列の積では、掛ける順番を入れ替える交換則 \(AB=BA\) は一般に成り立ちません。一方、括弧の付け方を変える結合則 \((AB)C=A(BC)\) は、積が定義できる大きさの行列なら必ず成り立ちます。この記事では、各成分を計算して証明します。
行列の積を定義できるサイズや、行と列を使った基本的な計算方法を先に確認したい場合は、行列の積とは？計算方法・定義できる条件・性質を解説をご覧ください。
行列の積が結合則を満たすことの証明
\(A\)を\(m\times n\)行列、\(B\)を\(n\times p\)行列、\(C\)を\(p\times q\)行列とする。このとき、どちらの積も\(m\times q\)行列となり、
\begin{align*}(AB)C=A(BC)\end{align*}
が成り立つ。
行列の積の定義を確認
\(A=(a_{ij})\)、\(B=(b_{jk})\) とすると、積\(AB\)の第\((i,k)\)成分は
\begin{align*}(AB)_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\end{align*}
です。「\(A\)の第\(i\)行」と「\(B\)の第\(k\)列」の対応する要素を掛けて足したものです。
\((AB)C\)の成分を計算
\((AB)C\)の第\((i,\ell)\)成分は、行列の積の定義から
\begin{align*} \bigl((AB)C\bigr)_{i\ell} &=\sum_{k=1}^{p}(AB)_{ik}c_{k\ell}\\ &=\sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)c_{k\ell}\\ &=\sum_{k=1}^{p}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{k\ell} \end{align*}
\(A(BC)\)の成分を計算
同様に、\(A(BC)\)の第\((i,\ell)\)成分は
\begin{align*} \bigl(A(BC)\bigr)_{i\ell} &=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(BC)_{j\ell}\\ &=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\left(\sum_{k=1}^{p}b_{jk}c_{k\ell}\right)\\ &=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}a_{ij}b_{jk}c_{k\ell} \end{align*}
有限和の順序を入れ替える
ここで扱っているのは有限個の数の和なので、足し算の順序を入れ替えられます。したがって、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{p}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{k\ell} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}a_{ij}b_{jk}c_{k\ell} \end{align*}
です。すべての\(i=1,\ldots,m\)と\(\ell=1,\ldots,q\)について対応する成分が一致するため、\((AB)C=A(BC)\)が証明されました。
結合則は「計算する組を変えてよい」という性質です。「行列を並べる順番を変えてよい」という交換則ではありません。一般には\(AB\ne BA\)です。