この記事では、多変量標準正規分布の直交行列による変換も多変量標準正規分布であることを証明します。
\(x\)を\(n\)次元の多変量標準正規分布に従うとします。つまり、
\begin{align*} x \sim N(0, I )\end{align*}
とします。
\begin{align*} Q \in O_n\end{align*}
を\(n\)次直交行列とします。つまり、\(Q^t Q = I\)です。
この時、 次の命題が成り立ちます。
\begin{align*} x \sim N(0, I )\end{align*}
を\(n\)次多変量標準正規分布とし、
\begin{align*} Q \in O_n\end{align*}
を\(n\)次直交行列とする。このとき、
\begin{align*} Qx \sim N(0, I)\end{align*}
が成り立つ。つまり、\(Qx\)も\(n\)次多変量標準正規分布である。
✍️ 実際にこのことを確かめてみましょう。
\(x\)の密度関数を\(f\)と表記することにすると、変数変換の公式より\(Qx\)の密度関数は、
\begin{align*} f_{Qx} (\xi) = f(Q^t \xi) \left|\text{det}\,{Q^t}\right| = f(Q^t \xi) \end{align*}
となります。直交行列では\(\left|\text{det}\, Q\right| = \left|\text{det}\, Q^t\right| = 1\)であることを用いました。
標準正規分布の確率密度函数が、
\begin{align*} f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}
\exp\Bigl(-\tfrac12 x^t x\Bigr)\end{align*}
だったので、\(Q Q^t = I\)を使うと、
\begin{align*} f_{Qx} (\xi) &= f(Q^t \xi) \\&= \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\exp\Bigl(-\tfrac12 (Q^t\xi )^t (Q^t\xi )\Bigr)
\\&= \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\exp\Bigl(-\tfrac12 \xi^t Q Q^t \xi\Bigr)
\\&= \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\exp\Bigl(-\tfrac12 \xi^t \xi\Bigr)
\end{align*}
となるので、ふたたび多変量の標準正規分布に従うことが分かりました✅