確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説

この記事では確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説します。
確率変数\(X\)の生存関数は
\begin{align*} S(x ) = P(X \geq x )\end{align*}
により定義されます。

今回は、\(X\)が非負確率変数の場合を考えます。

\(X\)を非負確率変数とすると、
\begin{align*} E(X^2) = 2\int_0^\infty x S(x) dx \end{align*}
と計算することができます。
証明のスケッチですが、
\begin{align*} E(X^2) = E\left( \int_0^X 2x dx \right) = E\left( \int_0^\infty 2x 1_{[X >x]}\right) \end{align*}
と書いて、フビニの定理を用いて（使えるかどうかは要確認）積分の交換をすると、
\begin{align*} 2 \int_0^\infty x P(X > x) dt = 2 \int_0^\infty x S(x) dx \end{align*}
となります。

普通に期待値\(E(X)\)を求める方法は以下の記事にて解説しています。

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