f(x, y) = yg(x)が原点で微分可能なこととg(x)が原点で連続なことは同値であることの証明

\(f(x, y) = yg(x)\)が原点で微分可能なことと\(g\)が原点で連続なことは同値であることの証明をします。

f(x, y) = yg(x)が原点で微分可能なこととg(x)が原点で連続なことは同値であることの証明

まず、\(\partial_x f(x, 0) = \lim_{|h| \rightarrow 0} \frac{f(x + h, 0) – f(x, 0)}{|h|} = 0\) であることを念頭に置いておきます。

\(f(x, y) = yg(x)\)が原点で微分可能であるとすると、

その全微分は\((0, g(0))\)です。

したがって、

\begin{align*} \lim \frac{|f(x, y) – f(0,0) – (0, g(0) )\cdot (x, y) |}{ || (x, y) || } = 0 \end{align*}

です。

分子は計算すると\(|yg(x)- yg(0) |\) ですね。

特に\(x = y\) に沿った\(\lim\)を考えることで、\(\frac{|xg(x) – xg(0)|}{\sqrt{2} |x|} = 0\)、すなわち、\(\lim \frac{|g(x) – g(0) |}{\sqrt 2} = 0\)が成り立つことがわかります。

これはつまり、\(\lim g(x) = g(0)\)を意味します。

逆に、\(g\)が原点で連続とします。

\begin{align*} \frac{|f(x, y) – f(0,0) – (0, g(0) )\cdot (x, y) |}{|| (x, y) ||} = \frac{|yg(x)- yg(0) | }{|| (x, y) || } \leq  \frac{|| (x, y) ||  |g(x) – g(0)|}{|| (x, y) || } \leq |g(x) – g(0)| \end{align*}

です。

ですので、\(g\) が原点で連続であれば、\(||(x, y)|| \rightarrow 0\) の極限をとることで、最右辺は\(0\) に収束します。

これはすなわち、\(f(x, y)\)が原点で(全)微分可能であることを意味します。