フルラニ積分(Frullani Integral)の証明
\(a, b >0\) とする。\(\mathbb R \setminus 0 \) 上の実数値関数 \(f\) は、微分可能かつ
（追記：フビニの定理を使用する箇所で、微分が可積分という条件も必要そうでした。すみません。）
\(\lim_{s \rightarrow \infty} f(s), \quad \lim_{s \rightarrow 0} f(s)\) が収束するならば、
\begin{align*} \int_0^\infty \frac{f(bx) – f(ax)}{x} dx = (\lim_{s \rightarrow \infty} f(s) – \lim_{s \rightarrow 0} f(s)) \log \frac{b}{a} \end{align*}
を満たす。
証明
\begin{align*}F(t,x) = f(tx) \end{align*}
と定めます。
\begin{align*} \frac{1}{x}F_1(t,x) = \frac{1}{t} \partial_2 F(t,x) \end{align*}
であることを確認しておきます。ただし\(\partial_1, \partial_2\) はそれぞれ\(t, x\) に関する微分です。
ここで、
\begin{align*} \frac{1}{t} \left( \lim_{x \rightarrow \infty } F(t,x) – \lim_{x \rightarrow 0} F(t,x)\right) = \frac{1}{t} \left( \lim_{s \rightarrow \infty} f(s) – \lim_{s \rightarrow 0} f(s) \right) \in L_1[a,b] \end{align*}
より
\begin{align*} \int_0^\infty \frac{1}{t} \partial_2 F(t,x) dx \in L_1 [a, b] \end{align*}
であることも確かめておきます。
従って、フビニの定理から
\begin{align*} \int_0^\infty \left( \int_a^b \frac{1}{x}\partial_1 F(t,x) dt \right)dx &= \int_a^b \left( \int_0^\infty \frac{1}{t} \partial_2 F(t,x)dx \right)dt \\&= \int_a^b \frac{1}{t}(f(\infty) – f(0)) dt \\&= (f(\infty) – f(0)) \log \frac{b}{a} \end{align*}
という結果が得られます。
コメント
コメント一覧 （2件）
こんにちは。証明で一箇所質問があります。
「t→∫_0^∞(1/t)∂_2F(t,x)dxが[a,b]上ルベーグ可積分、したがってフビニの定理から」の部分で、これは(1/t)∂_2F(t,x)=(1/x)∂_1F(t,x)が[a,b]×[0,∞)上可積分になるからということでしょうか。
そうだったらそうなる理由がちょっと分からなかったので、教えていただけませんか。
ご質問ありがとうございます。ご指摘の箇所ですが、読んでみると確かに
f^\prime \in L^1の条件が必要そうですね。。。
申し訳ないです。