ポアソン到着競争問題の有名問題である通勤競争問題の解き方をシンプルに解説！

いきなりだが、電車で、同僚とどちらが会社に早く着くかを競争することにする。
自分と同僚は同じホームにいる。
快速電車と普通電車がホームに到着する時間はそれぞれ、平均\(\frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}\)の指数分布に従うとする。
また、快速電車で会社まではT_1分で到着する、普通電車で会社まではT_2分で到着する。
同僚は常に快速にのることにする。自分は常に最初に来た電車にのるとする。
このとき、自分が同僚よりも先に会社に到着する確率はいくつでしょうか。

このとき、同僚よりも先に自分が会社に到着する確率は
\begin{align}\frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} e^{ – \lambda (T_2 – T_1)} \end{align}

となる。

なぜかというと、
快速電車が先にくる場合には、同僚と同時に到着することになる。
普通電車が先に来る場合を考えることにする。
普通電車が先にくる確率は
\begin{align}\frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} \end{align}
で
普通電車が来てから快速電車が来るまでに\(T_2 – T_1\)の時間が経てばよいわけだが、
指数分布の無記憶性からこれは単に
\begin{align} e^{ – \lambda (T_2 – T_1)}\end{align}
となる。
したがって、
\begin{align}\frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} e^{ – \lambda (T_2 – T_1)} \end{align}
となる。