この記事ではワイブル分布のスケールパラメータ\(\theta\)の最尤推定の求め方を解説します。
まず定義ですが、パラメータ\(\theta, \tau\)のワイブル分布は、
生存関数\(S(x) = P(X \geq x)\)が
\begin{align} S(x) = e^{{-(\frac{1}{\theta}x)}^{\tau}}\end{align}
である確率分布です。
つまり、確率密度関数が
\begin{align} \frac{\tau (\frac{x}{\theta})^\tau e^{{-(\frac{1}{\theta}x)}^{\tau}}}{x} \end{align}
となっている確率分布です。
ここで、個々がワイブル分布に従う\(n\)個のサンプルデータを、
\begin{align} x_1, x_2, \ldots, x_n \end{align}
とします。
すると、尤度関数は
\begin{align} L(x_1, \ldots, x_n; \theta, \tau) = \frac{\tau^n ( \prod_i \frac{x_i}{\theta})^\tau e^{{- \sum_i (\frac{1}{\theta}x_i)}^{\tau}}}{\prod_i x_i} \end{align}
です。したがって、対数尤度関数は、
\begin{align} \log L(x_1, \ldots, x_n; \theta, \tau) = n \log \tau + \tau \sum \log x_i – n \tau \log \theta – \sum \left( \frac{x_i}{\theta}\right) ^\tau – \sum \log x_i \end{align}
です。
そこで、
\begin{align} \partial_\theta \log L(x_1, \ldots, x_n; \theta, \tau) = 0 \end{align}
を解くことにします。
\begin{align} – \frac{n \tau }{\theta } + \tau \left( \frac{1}{\theta } \right)^{\tau -1} \sum x_i ^\tau = 0 \end{align}
なので、
\begin{align} \tau = \left( \frac{\sum x_i ^\tau }{n} \right)^{\frac{1}{\tau}} \end{align}
となります。
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