この記事では標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をします。
まず最初にカイ二乗分布の確率
定義: カイ二乗分布
自由度
です。
ですので、
自由度
です。
ここで、
であったことを思い出しておきます。
従って、ガンマ関数の部分を書き換えて整理すると、
定義: カイ二乗分布
自由度
です。
さて、標準正規分布
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上記の記事で具体的な導出をしていますが、
定義: カイ二乗分布
確率変数
このとき、
です。勿論、負の値に対しては0です。
であったので、
となります。無論、
これは確かに、自由度1のカイ二乗の確率密度関数になっていることが確認できると思います。

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