標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をわかりやすく解説!!!!

この記事では標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をします。

まず最初にカイ二乗分布の確率

定義: カイ二乗分布

自由度kのカイ二乗分布の確率密度関数は、
f(x)={(12)k2xk21e12xΓ(k2)(0x)0otherwise

です。

ですので、

自由度1のカイ二乗分布の確率密度関数は、
f(x)={(12)12x12e12xΓ(12)(0x)0otherwise
です。

ここで、
Γ(12)=π
であったことを思い出しておきます。

従って、ガンマ関数の部分を書き換えて整理すると、

定義: カイ二乗分布

自由度1のカイ二乗分布の確率密度関数は、
f(x)={12πxe12x(0x)0otherwise
です。

さて、標準正規分布N(0,1)の確率変数の二乗の確率密度関数を計算してみます。

上記の記事で具体的な導出をしていますが、

定義: カイ二乗分布

確率変数Xの確率密度関数をfとします。
このとき、X2の確率密度関数は、
12xf(x)+12xf(x)
です。勿論、負の値に対しては0です。

Xを標準正規分布N(0,1)に従う確率変数とすると、Xの確率密度関数は、
f(x)=12πex22
であったので、X2の確率密度関数は、0xに対して
12xf(x)+12xf(x)=12x12πex2+12x12πex2=12πxex2
となります。無論、x<0に対しては0です。

これは確かに、自由度1のカイ二乗の確率密度関数になっていることが確認できると思います。

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