新着情報

1. 債券の発行形態・主な投資家・発行市場 日本高速道路保有・債務返済機構（JH, JEHDRA, 高速道路機構）は、自身で資金調達を行うために2種類の債券を発行しています。一つは政府保証債（政府が元本・利息支払いを保証する債券）で、もう一つが財投機関債...

アメリカン・エキスプレス・プラチナ・カード（通称アメックスプラチナ）は、アメックスが発行する最上級クラスのクレジットカードで、高額な年会費（年間税込16万5,000円）に見合う豊富な特典とサービスを備えた非常に高いステータスのカードです。そのた...

この記事では、新興国通貨である南アフリカランドの投資環境について、2024年度を振り返ってみようと思います。 1. 南アフリカランド/円（ZAR/JPY）為替レートの年間推移と変動要因 2024年の南アフリカランド対円相場（ZAR/JPY）は、年初の1ランド＝約7.7...

クレジットカードの家族カードを幼い頃から使っていると、「自分の信用履歴（クレジットヒストリー）にプラスになるのだろうか？」と気になりますよね。 日本ではクレジットカードの審査時に、CICやJICCといった信用情報機関に登録された個人の信用情報が...

この記事では、FX証券会社でクレジットカードの入金に対応しているかを調査しました。 国内FX会社でクレジットカード入金できるか 国内の主要FX取引業者（金融庁登録業者）では、法律・規制上クレジットカード入金は対応していません。したがって国内業者...

同じ100万円でも「保険料」と「高級ホテル」は評価が段違い？　アメックス　センチュリオンが重視する“ライフスタイル指標”と保険カテゴリの関係を深掘りします。 保険料をクレジットカードで支払える保険商品一覧 クレジットカードで保険料の支払いが可能...

この記事では、確率変数のランダムな個数の和の確率変数の、積率母関数の導出を解説します。確率変数のランダムな個数の和というのは、「確率変数を何個足し合わせるか」自体もあるランダムな確率変数に従っていると言うことです。例えば、サイコロがあっ...

ICC(群内相関係数, Intraclass Correlation Coefficient)は単に同じクラスの 次のような2階層のモデルを考えます。\begin{align*} Y_{ij} = \mu + a_i + \varepsilon_{ij}, \quad a_i \sim \text{i.i.d.}\, N(0, \sigma^2_a), \varepsilon_{ij} \sim \text...

この記事では信頼性理論における全信頼基準の導出をわかりやすく解説します。 全信頼基準(full credibility standard)とは、サンプル平均が、真の平均値から誤差$latex k$(割合です)以内に入る確率が$latex 1-\alpha$以上になることを保証するために必要な...

この記事ではベイズの定理において事後分布がガンマ分布っぽいなと思った時にやるべきこと(?)を解説します。 ベイズの定理\begin{align*} P(\theta \mid G) \propto P(G \mid \theta ) P(\theta) \end{align*}を用いて、事後分布を考えている時、明らかに...

この記事では確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説します。確率変数$latex X$の生存関数は\begin{align*} S(x ) = P(X \geq x )\end{align*}により定義されます。 今回は、$latex X$が非負確率変数の場合を考えます。 $latex X$を非負...

この記事では、Bühlmann信頼度をLMMSEの観点から理解します。LMMSEはLeast Minimum Mean Square Errorです。 次のような状況を考えます。ナイーブな書き方をしているので、読みながら適宜厳密化してください。今手元にデータ$latex Y$が1つありますが、こ...

超指数分布のベイズ更新のやり方を解説します。超指数分布Hyperexponential distributionは、名前はまあサイヤ人みたいに強そうですが、定義はというと、単に指数分布の有限個の凸結合です。パラメータを$latex \theta_1, \ldots, \theta_k >0$と$latex p_...

推定量の一致性を確認するのは面倒くさいです。そこで、平均二乗誤差が$latex 0$に収束することで一致性を確かめることにしましょう。よくある確認方法ですが、こっちの方が楽だったりします。 というのも、チェビシェフの不等式から\begin{align*} E\left...

2つの独立なポアソン過程の競争問題について解説します。2つの独立なポアソン過程$latex \{A_t \}_t, \{B_t \}_t$で強度がそれぞれ$latex \lambda_a, \lambda_b$であるものが存在するとします。前者のイベントを$latex A$と呼ぶことにし、後者を$latex B$...

$latex \mathcal{F}$を再保険関数全体の集合\begin{align*}\mathcal{F} := \left\{ f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ \mid f \text{ is increasing and convex},\\0 \leq f(x) \leq x \quad \forall x \geq 0\right\}. \end{align*}とします。ここで、 $...

幾何分布$latex Geom(p)$のパラメータ$latex p$の最尤推定量(MLE)を$latex \hat p$で表記することにすると、\begin{align*} \hat p = \frac{1}{\bar x + 1} \end{align*}です。この記事ではそのことを解説します。幾何分布の確率質量関数は\begin{align*} ...

マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法を考えまーす。 離散的な状態が$latex k$個存在する状況を考えます。状態間の遷移は、遷移確率行列が\begin{align} P \end{align}に従うとします。各状態$latex i$のコストを$latex c_i ...

この記事ではポアソン分布の希薄化(Thinning)をわかりやすく解説します。ポアソン分布の希薄化とは、 二項分布とポアソン分布を混合し、二項分布の試行回数のパラメータをポアソン分布に従うように設定することです。 命題：ポアソン分布の希薄化 確率変数...

この記事では、確率論や機械学習でしばしば登場するラデマッハ確率変数 (Rademacher Random Variable) の定義を確認します。 定義：ラデマッハ確率変数 確率変数$latex X$は\begin{align*} P(X = -1) = \frac{1}{2}, \quad P(X = 1) = \frac{1}{2}\end{ali...

この記事では補対数対数リンク関数の逆関数を求めます。 対数を2回書いているのは誤植ではないです。complementary log-log link functionです。 \begin{align} g(x) = \log{\left(-\log(1-x) \right)}\end{align}により定義されます。\begin{align} \xi =...

この記事では、対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説します。 \begin{align*} X \sim LN(\mu, \sigma^2)\end{align*}とします。サンプルの平均を$latex m$とし、分散を$latex s^2$とします。モーメント法による$latex \mu, \sigma^2$...

この記事では正規分布のtail boundの評価を解説します。 評価方法その1 \begin{align*} X \sim N(0,1)\end{align*}とします。\begin{align*} S(x) = P(X > x)\end{align*}を評価します。\begin{align*} 0 < x \leq \xi \Rightarrow 1 \leq \frac{\xi}{x...

この記事では、一元配置分散分析(one-way ANOVA)をわかりやすく解説します。適当にネットで調べてもあまりしっくりくる説明がなかったので、自分用の備忘録も兼ねています。前提知識としては、重回帰分析の線形代数による記述スタイルを掴んでいたらよいと...

この記事では累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解として書き直せることを解説します。 12種類あるBurr型の分布は、\begin{align*} \frac{d}{dx} F(x) = F(x)(1 - F(x))g(x, F(x))\end{align*}というロジスティック型の微分方程式において、$la...

この記事では順序統計量の最大値と最小値の分布関数は簡単に求められることを解説します。 まず順序統計量の最大値と最小値というのは、確率変数\begin{align*} X_1, \ldots, X_n \end{align*}があった時に、それぞれ\begin{align*} X_{(n)} = \max \{X_1,...

この記事では線形回帰モデルの残差の分散共分散行列を導出・証明する方法をわかりやすく解説します。 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon, \quad \varepsilon \sim N(0, \sigma^2 I)\end{align*}という線形回帰モデルを考えます。OLS推定量$\hat \b...

この記事ではCase-Deletion公式をわかりやすく解説します。 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon\end{align*}という線形回帰モデルを考えます。 ここで、行列$latex A$に対して、$latex i$行目を削除(0にするのではなく、削除です)した行列を\begin{...

この記事ではSherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説します。 Sherman-Morrison-Woodburyの公式 定理：Sherman-Morrison-Woodburyの公式 $latex A$を$latex n\times n$の正則行列、$latex U$を$latex n\times k$、$latex C$を$l...

この記事では回帰分析におけるレバレッジ(leverage)の定義をわかりやすく解説します。誤差項のある線形回帰モデル\begin{align*} y = X \beta + \varepsilon \end{align*}を考えます。ハット行列を\begin{align*} H = X \left(X^t X \right)^{-1} X^t \end...

この記事では、擬似逆行列によるハット行列の定義は適切に直交射影であることを解説最初に擬似逆行列の定義を確認しておきます。 定義：擬似逆行列(Moore-Penrose逆行列, 一般化逆行列) $latex A$を$latex n\times m$(複素)行列とする。$latex m\times n$(...

この記事では射影だが直交射影でない行列の例をわかりやすく解説します。有限次元ユークリッド空間$latex \mathbb R^n$上での話をします。 定義：射影行列 行列\begin{align*} P: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n\end{align*}は、冪等性、つまり\begi...

この記事では線形回帰モデルで制限付きモデルとの残差平方和の差がカイ二乗分布に従うことを証明します。 線形回帰モデルの設定 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon, \quad \varepsilon \sim N(0, \sigma^2 I) \end{align*}という線形回帰モデルを...

この記事では多変量標準正規分布の対称冪等行列による2次形式が、冪等行列のランクを自由度とするカイ二乗分布に従うことを証明します。つまり主張は次のとおりです。 命題 $latex x$を$latex n$次元多変量標準正規分布\begin{align*} x \sim N (0, I)\end...

この記事では、多変量標準正規分布の直交行列による変換も多変量標準正規分布であることを証明します。 $latex x$を$latex n$次元の多変量標準正規分布に従うとします。つまり、\begin{align*} x \sim N(0, I )\end{align*}とします。\begin{align*} Q \in...

この記事では線形回帰モデルにおいて全要素が1のベクトルがハット行列の不動点であることの証明をします。全要素が1のベクトルを\begin{align*} e = (1, 1, \ldots, 1 )^t \in \mathbb R^n\end{align*}で表記します。線形回帰モデルを\begin{align*} y = X...

この記事では指数分布の順序統計量の期待値の公式の導出をわかりやすく解説します。\begin{align*} X_1, X_2, \ldots, X_n \sim Exp(\lambda), \text{i.i.d.}\end{align*}とします。$latex X_1, X_2, \ldots, X_n$を昇順にならべ、下から$latex i$番目の値...

この記事では残差平方和RSSの期待値の導出をわかりやすく解説します。まず最初に残差平方和がなんであったかを確認しておきます。線形回帰モデル\begin{align*} y = X \beta + \varepsilon\end{align*}を考えます。ただし$latex \varepsilon \sim N(0, \si...

この記事では確率ベクトルの2次形式の期待値の導出をわかりやすく証明します。ここで、$latex n$次確率ベクトルとは、確率変数$latex X_1, \ldots, X_n$を並べたベクトル\begin{align*} x = (X_1, X_2, \ldots, X_n) \end{align*}のことです。$latex (i,j)...

この記事では双線形形式をtraceによって表現するトリックを説明します。ただし、この記事内で$latex x, y \in \mathbb R^n$の$latex n$次正方行列$latex A \in M_n$による双線形形式というと、\begin{align*} x^t A y\end{align*}を指すこととします。 命...

この記事では__eq__が何かを、実装例も合わせて超簡単に説明します。 __eq__ __eq__ とは、Python において「==」演算子が呼び出される際に挙動を定義するための特別なメソッド（特殊メソッド）のことです。クラスのオブジェクト同士の等価比較を行う際に...

この記事ではハット行列のトレースが回帰係数の数と一致することの証明を超簡単に解説します。ほぼ自明ですが。この事実は、残差平方和の期待値を求める上でクリティカルな役割を果たします。\begin{align*} y = \beta_0 + x_1 \beta_1 + \cdots + x_{p-1}...

この記事では「冪等行列ならばrankとtraceが一致すること」の証明をわかりやすく解説します。冪等行列を$latex A$で表記することにします。 行列のtraceは、固有値の総和に一致することを思い出しておきます。冪等行列$latex A$の固有値は、$latex 0, 1$の...

この記事では冪等行列Aに対して$latex \textrm{rank}(I-A)=\textrm{dim} \textrm{ker}A$であることを証明します。 まず$latex n$次正方行列$latex A$を冪等行列、つまり\begin{align*} A^2 = A\end{align*}を満たす行列とします。次の事実が成り立ちます。...

この記事では実対称な冪等行列の対角成分が0以上1以下であることを証明します。 最初に冪等行列の定義を確認しておきます。正方行列$latex A$は、\begin{align*} A^2 = A \end{align*}を満たすときに、冪等行列といいます。 命題： $latex A$を実対称な冪...

この記事では、標準的な条件下でスコア関数の期待値が0であることを証明します。 まず、スコア関数を定義します。確率変数$latex X$を、パラメータ$latex \theta$をもち、確率密度関数が$latex f_X(\cdot; \theta)$である確率変数とします。 スコア関数は...

アーラン分布の生存関数をポアソン分布から計算する方法を解説します。最初にアーラン分布を思い出しておきましょう。 定義:アーラン分布 正の整数$latex k$と正の実数$latex \mu$をパラメータとするアーラン分布とは、確率密度関数\begin{align*} f(x) = ...

この記事では条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説します。条件付き裾野期待値(Conditional Tail Expectation)と言っているのは、確率変数$latex X$に対して\begin{align*} E(X \mid X > x) \end{align*}この積分のことです。 文献によってはこ...

この記事ではハザード関数から生存関数を導出する方法を解説します。 命題：ハザード関数から生存関数を復元 $latex X$を確率変数、$latex h$を$latex X$のハザード関数、$latex S$を$latex X$の生存関数とする。このとき、\begin{align*}S(x) = e^{ - \in...

この記事では、指数分布の確率密度関数との積分をする時の部分積分公式を解説します。よくある状況を考えるために、$latex f(x) \in C^\infty$とし、$latex ^\exists{N} \in \mathbb N$\begin{align*} \frac{d^N}{dx^N}f(x) = 0 \end{align*}という状況を...

この記事では略算平均余命の再帰式の導出方法を解説します。 記号の復習をしておきます。$latex x$歳の人が$latex k$年生きる確率を、\begin{align*} {}_k p_{x} = \frac{l_{x+k}}{l_x}\end{align*}という記号で表記します。$latex x$歳の人が、$latex x +...

この記事では1/√(1+x^2)の積分の計算方法を解説します。つまり、\begin{align*} \int　\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx \end{align*}の計算方法を解説します。余談ですが、京都大学の女性募集枠特色入試の数学サンプル問題でこの積分が使える場面がありました...

この記事では、略算平均余命(Curtate Life Expectancy)が生存確率の総和と一致することを証明します。 記号の準備をします。 $latex x$歳の人の人口を、\begin{align*} l_x\end{align*}という記号で表記します。 $latex x$歳の人が$latex k$年生きる確率を...

この記事では2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説します。 命題：2つのポアソン過程の発生順序 $latex \{A_t \}_t, \{B_t \}_t$を2つの独立なポアソン過程とし、それぞれ強度(intensity)は$latex \lambda_a, \lambda_b$であるとし...

この記事では、指数分布の指数関数がパレート分布であること、つまり、パレート分布の対数変換が指数分布であることを解説します。 パレート分布がなんだったかを思い出しておきます。最小値パラメータ$latex x_m >0$、形状パラメータ$latex a$のパレート...

この記事ではパラメータがガンマ分布のポアソン混合分布が負の二項分布である証明をわかりやすく解説します。 まず初めに、ガンマ分布とポアソン分布について思い出しましょう。 パラメータ$latex \alpha , \beta$のガンマ分布$latex \Gamma(\alpha, \beta...

この記事では、標準正規分布をカイ二乗分布のルートで割るとt分布が導出できることをわかりやすく解説します。 定義：t分布 自由度$latex n$のt分布とは、確率密度関数が\begin{align*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{n \pi}} \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamm...

この記事では指数分布の和がアーラン分布であることを証明します。 まずはじめに、アーラン分布について思い出しておきます。 定義:アーラン分布 正の整数$latex k$と正の実数$latex \mu$をパラメータとするアーラン分布とは、確率密度関数\begin{align*} ...

この記事では、フランチャイズ価値モデル（Franchise Value Model）の導出をします。フランチャイズ価値モデルは、成長機会現在価値（PVGO: Present Value of Growth Opportunities）モデルともいいます。 まず、基本的な仮定として、将来にわたり企業の自...

この記事ではポートフォリオの標準偏差の重みに関する勾配を求めます。 $latex X_1, \ldots, X_n$を、標準偏差が$latex \sigma_1, \ldots, \sigma_n$である確率変数とします。$latex w_1, \ldots, w_n \in \mathbb (0,1)$を、\begin{align*} w_1 + \ldots ...

この記事では標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をします。 まず最初にカイ二乗分布の確率 定義: カイ二乗分布 自由度$latex k$のカイ二乗分布の確率密度関数は、\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{\left( \frac{1}{2}\r...

この記事では、事故発生件数がポアソン分布に従う1件目控除つき保険の期待支払額を計算します。 事故の発生件数が平均パラメータ$latex \lambda$のポアソン分布に従うとします。1件目の事故に対しては支払いはなく、2件目の事故から、1件あたり$latex L$円...

この記事では一様分布の分散の求め方を解説します。 命題: 一様分布の分散 確率変数$latex X$は一様分布$latex U(a, b)$に従うとします。このとき、\begin{align*} V(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \end{align*}が成り立ちます。 実際に計算してみましょう。 一...

この記事では二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説します。 命題: 二項分布の再生性 $latex X$をパラメータ$latex n, p$の二項分布$latex Bin(n, p)$に従う確率変数とし、$latex Y$をパラメータ$latex m, p$の二項分布$latex...

この記事では、二項分布の積率母関数(モーメント母関数)の求め方を解説します。 確率変数$latex X$の積率母関数とは、\begin{align*} M_{X}(t) = E(e^{tX}) \end{align*}により定義される関数のことでした。 結論から述べると、 命題: 二項分布の積率母関...

この記事では、正規分布が再生性をもつことの証明をします。 $latex X, Y$をそれぞれ独立な正規分布$latex N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)$に従うとします。つまり、\begin{align*} X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\quad Y \sim N(\mu_2, \sigm...

ポアソン分布の再生性、つまり独立なポアソン分布に従う確率変数の和もまたポアソン分布に従うことを証明します。 命題: ポアソン分布の再生性 $latex X \sim Po(\lambda_1), Y \sim Po(\lambda_2)$で、互いに独立であるとします。このとき、\begin{align*...

今回は、生存関数を用いて確率変数の期待値を求める方法について詳しく解説します。数学的な導出だけでなく、直感的な理解や具体的な例も交えて説明していきます。 定義 確率変数$latex X$に対して、\begin{align*} S(t) = P( t \leq X)\end{align*}を$lat...

統計学や確率論において、ポアソン分布はランダムな事象の発生をモデル化する際に非常に重要な確率分布です。特に、一定の時間や空間内での稀な事象の発生回数を扱う場合によく用いられます。 本記事では、ポアソン分布の最頻値（モード）の求め方について...

二項分布が単峰性(unimodality)を満たすことを証明します。まず単峰性の定義を確認しましょう。 定義: 単峰性(unimodality) 離散型の確率変数$latex X$は、\begin{align*} P(X = 0) \leq P(X = 1) \leq \cdots \leq P(X = k) \geq P(X = k+1) \geq \cdots ...

統計学や確率論において、二項分布は非常に重要な確率分布の一つです。これは、成功確率が一定の試行を複数回行ったときの成功回数を表す分布です。二項分布の特性を理解することは、データ分析や統計的推測を行う上で不可欠です。 本記事では、二項分布の...

指数分布は、連続確率分布の一種で、事象の発生間隔が独立かつ同一の確率で発生する場合に使用されます。この記事では、指数分布の中央値の求め方を解説します。 確率変数がパラメータが$latex \lambda$である指数分布に従うとは、確率密度関数が、\begin{...

投資やリスク管理の分野では、キャッシュフローのタイミングや金額の変動を考慮した評価が非常に重要です。特に、キャッシュフローが将来に繰り延べられる場合（Deferred Cash Flows）、その評価には特別な注意が必要です。本記事では、「Deferredキャッシ...

ビジネスや投資の世界では、キャッシュフローのパターンはさまざまです。その中でも、支払い金額が期間の経過とともに増加し、その後減少する「山型キャッシュフロー」は特異なパターンとして知られています。現実の世界で綺麗に山型キャッシュフローとな...

$latex L$円を$latex T$期間で元金均等返済で貸し出すことを考えます。各期の金利は$latex i$で、支払いは各期末に発生します。受け取った返済金は、その期末にすぐに各期の利率$latex j$で再投資するものとします。現在を$latex 1$期の始まりと仮定し、各...

乱数生成は統計やシミュレーションにおいて非常に重要な役割を果たします。特に、特定の確率分布に従う確率変数を生成することは、統計モデリングや金融工学など多くの分野で必要です。その一つの方法として「逆関数法」がよく使われます。今回は、この逆...

数学が好きで、大学で学んだ内容をブログに書きたいと思う人は多いかもしれません。しかし、残念ながら「広告収入だけで稼ぐ」のはほぼ無理です。多分、サーバー代とかドメイン代で赤字になります。 広告収入がどれくらいか Google Adsenseの広告収入に関...

確率分布に従った乱数を生成する方法は多く存在しますが、複雑な分布では直接サンプリングが難しいことがあります。そんなときに役立つのが 棄却法（Rejection Sampling） です。この記事では、棄却法の原理と使い方について、わかりやすく解説します。 こ...

本記事では、年金現価と年金終価という2つの重要な概念を中心に、その逆数の差が金利に等しくなるという興味深い関係式について詳しく解説します。 まず、記号を導入します。各期の金利を$latex i$で表します。$latex n$期間、毎期末に1ずつ払う年金の現価...

金融計算や資産運用において、「年金終価」は重要な概念です。特に、支払いのタイミングによって「期始払い」と「期末払い」の2種類が存在し、それぞれの将来価値（終価）は異なります。本記事では、これら2つの年金終価の再帰的関係式を導出し、その背後...

元利均等返済とは、毎月の支払い額が一定で、元金と利息が混ざった形で返済していく方式です。毎月支払う額が固定されているので、計画的に返済がしやすいのが特徴です。 返済初期は、利息が大きく、元金返済が少ない。返済が進むにつれて、元金部分の返済...

ローンを組むとき、毎月支払う金額が一定になる元利金等返済はとても一般的です。この仕組みを理解することは、金融計画にも役立ちます。この記事では、この元利金等返済の公式を、できるだけ簡単に説明します。 元利均等返済は、毎月の返済額が一定になる...

毎期減少していく期末払い年金の現在価値を計算してみます。記号として、$latex n$期間の期末払い確定年金の現在価値を$latex a_n$で表記することにします。割引率を$latex v$で表すことにします。 命題 paymentが\begin{align*} n, n-1, n-2 , \ldots, 1 ...

パー債券とは、額面価格と同じ価格で発行される債券のことです。通常、債券にはクーポン（利息）が付いており、一定の期間ごとに投資家に支払われます。パー債券では、このクーポン率が市場利率と一致しているため、額面通りの価格で取引されます。 設定お...

ベースフード（BASE FOOD）は、健康を意識した完全栄養のパンとして多くの人に愛用されています。しかし、ライフスタイルの変化や個人の好みによって解約を考えることもあるでしょう。この記事では、解約の手順をステップごとに詳しく解説していきます。 B...

確率変数の二乗の確率密度関数の求め方を簡単に解説します。 確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説 連続型の確率変数を想定しています。まず最初に、適当な確率変数$latex X$に対して、\begin{align*} f(x) = \partial_x F(x)\end{alig...

LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。数学や物理学に限らず、あらゆる分野で改行や改ページが頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXで改行や改ページをどのようにするかを詳しく解説します。

限界代替率（MRS: Marginal Rate of Substitution）とは、経済学において消費者の選好を表現する重要な概念であり、特定の財の組み合わせにおいて、ある財を1単位追加で得るために、他の財をどれだけ犠牲にできるかを示します。

LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。特に数学や物理学の分野では、テンソル積や直和の表記が頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXでテンソル積や直和の記号をどのように表現するかを詳しく解説します。

LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。特に数学の分野では、等号や不等号の表記が頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXで等号や不等号の記号をどの...

経済学におけるエッジワースボックスは、複数の個人が互いに利益を最大化するために財をどのように交換するかを考える上で、パレート最適な点を視覚的に表現するための便利な図です。

経済学において「弾力性」とは、ある変数（例えば価格や所得）が変動したときに、他の経済変数（例えば需要や供給）がどの程度応答するかを測る指標です。この概念は、市場の反応を理解し、価格設定や政策立案において重要な役割を果たします。

LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。特に数学の分野では、ルート記号（根号）の表記が頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXでルート記号をどのように表現するかを詳しく解説します。

ソローモデルは、マクロ経済学における経済成長理論の一つで、1956年にロバート・ソローによって提唱されたものです。このモデルは、経済がどのように成長し、時間とともにどのように変化するかを理解するためのフレームワークを提供します。

日商簿記2級の試験は、その実践的な内容と多岐にわたる出題範囲から、多くの受験者にとって簡単とは言えません。しかし、効率的な勉強方法と適切な戦略を用いることで、短期間でも合格は十分に可能です。ここでは、独学でわずか100時間の学習で合格するための裏技を紹介します。

多項式カーネルの半正定値性と一次独立生の証明をわかりやすく解説します。

レバレッジ型ETFには「逓減（decay）」と呼ばれる現象が存在し、これは長期投資におけるリスク要因となります。逓減とは、オリジナルの指標ではレンジでもとの価格に戻ってきているのに、レバレッジ型ETFの価格はもとの価格よりも低くなってしまう現象のことを指しています。この記事では逓減が発生する理由や原因を数学的に解説します。

ケリー基準は、ある賭けの勝利確率、敗北時に失う金額、そして勝利した場合に得られる金額を基にして、その賭けに投じるべき資金の割合を計算します。この基準に従うことで、長期的に見て資金を効率的に増やすことができます。

この記事では、離散一様分布の期待値と分散の導出をわかりやすく解説します。

小中高生向け数学の問題の中でも特に微妙なものの一つが、「次の数列の一般項を求めよ」という問題です。学生はしばしば、与えられた数列のパターンを見つけ、その一般項を導き出すよう求められます。しかし、この種の問題には答えが一意に定まらないという問題があります。