1/(x^3+1)の不定積分をわかりやすく解説

この記事では$\frac{1}{x^3+1}$の不定積分をわかりやすく解説します。

$\frac{1}{x^3+1}$の不定積分をわかりやすく解説

解き方:

分母に3乗が入った積分についてはよくわかりませんが、2乗が入った積分であればよく知っています。
そこで、$\frac{1}{x^3+1}$を部分分数分解することで、2乗以下の積分に帰着させます。

$$\begin{array}{r}{x}^3+1=(x+1)(x^2–x+1)\end{array}$$
ですので、
$$\begin{array}{r}\frac{1}{x^3+1}=\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2–x+1}\end{array}$$
と部分分数分解することにします。
$$\begin{array}{r}\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2–x+1}=\frac{a{x}^2–ax+a+b{x}^2+cx+bx+c}{(x+1)(x^2–x+1)}\end{array}$$
であることから、
$$\begin{array}{r}a+b=0,-a+b+c=0,a+c=1\end{array}$$
です。これを解くことで、
$$\begin{array}{r}a=\frac{1}{3},b=–\frac{1}{3},c=\frac{2}{3}\end{array}$$
であることがわかります。つまり、
$$\begin{array}{r}\frac{1}{x^3+1}=\frac{\frac{1}{3}}{x+1}+\frac{–\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2–x+1}\end{array}$$
と部分分数分解することができます。

$$\begin{array}{r}\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\log f(x)\end{array}$$
であったことを思い出しておきます。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{x^3+1}dx& =\int \frac{\frac{1}{3}}{x+1}+\frac{–\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2–x+1}dx\\ & =\int \frac{\frac{1}{3}}{x+1}+\frac{–\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}}{x^2–x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x^2–x+1}dx\\ & =\frac{1}{3}\log (x+1)–\frac{1}{6}\log (x^2–x+1)+\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x–\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}dx\\ & =\frac{1}{3}\log (x+1)–\frac{1}{6}\log (x^2–x+1)+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\int \frac{1}{(\frac{2}{\sqrt{3}}x–\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{2}{)}^2+1}dx\\ & =\frac{1}{3}\log (x+1)–\frac{1}{6}\log (x^2–x+1)+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\int \frac{1}{(\frac{2x–1}{\sqrt{3}}{)}^2+1}dx\\ & =\frac{1}{3}\log (x+1)–\frac{1}{6}\log (x^2–x+1)+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{1}{y^2+1}dy(y=\frac{2x–1}{\sqrt{3}})\\ & =\frac{1}{3}\log (x+1)–\frac{1}{6}\log (x^2–x+1)+\frac{\sqrt{3}}{3}{\tan }^{-1}y\\ & =\frac{1}{3}\log (x+1)–\frac{1}{6}\log (x^2–x+1)+\frac{\sqrt{3}}{3}{\tan }^{-1}\frac{2x–1}{\sqrt{3}}\end{array}$$
と計算することができます。