対数正規分布の確率密度関数・期待値・分散の導出の証明

2023年6月12日2024年10月15日

みなさん、こんにちは！統計学や確率論に慣れ親しんでいる方なら、正規分布について何度も聞いたことがあることでしょう。正規分布は、自然界や社会科学など、さまざまな分野で出現する現象をモデル化するのに非常に役立ちます。今日は、このおなじみの正規分布に、ちょっと変わった視点で迫ってみたいと思います。

具体的には、確率変数 $X$ が平均 $μ$ 分散 $σ^{2}$ の正規分布に従うとき、すなわち $X \sim N (μ, σ^{2})$ であるとき、その指数関数 $Y = e^{X}$ が従う分布を対数正規分布と言います。

対数正規分布の確率密度関数と期待値と分散を導出してみようと思います。

対数正規分布の確率密度関数・期待値・分散の導出

対数正規分布の確率密度関数・期待値・分散の導出

対数正規分布の確率密度関数の導出

$e^{X}$ の密度関数を $f (x)$ と書くことにします。 $f (x) = \partial_{x} P (X \leq x)$ が成り立つことを思い出しておきます。

$\begin{array}{r} P (X \leq x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(s - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} d s \end{array}$

であるので、 $x > 0$ の時には、

$\begin{array}{r} P (e^{X} \leq x) = P (X \leq \log x) = \int_{- \infty}^{\log x} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(s - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} d s \end{array}$

です。

$\begin{array}{r} \partial_{x} \int_{- \infty}^{b (x)} f (t) d t = b^{'} (x) f (b (x)) \end{array}$

であることを思い出すと、

$\begin{array}{r} f (x) = \partial_{x} P (e^{X} \leq x) = \frac{1}{x} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(\log x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} \end{array}$

となります。

従って、まとめると、

$\begin{array}{r} f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(\log x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} & (x > 0) \\ 0 & (x \geq 0) \end{cases} \end{array}$

ということになります。

対数正規分布の期待値の求め方

ガウス関数の積分

$\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π t} e^{- \frac{x^{2}}{2 t}} d x = 1 \end{array}$

を思い出しておく。

$\begin{aligned} E (e^{X}) & = \int_{- \infty}^{\infty} e^{x} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(x^{2} - (2 μ + 2 σ^{2}) x + μ^{2})}{2 σ^{2}}} d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(x - (μ + σ^{2}))^{2} - (2 μ σ^{2} + σ^{4})}{2 σ^{2}}} d x \\ = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(x - (μ + σ^{2}))^{2}}{2 σ^{2}}} d x \\ = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}} d x \\ = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \times 1 \\ = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \end{aligned}$

まとめると、確率変数 $X$ が平均 $μ$ 分散 $σ^{2}$ の正規分布に従うとき、 $Y = e^{X}$ とすると、

$\begin{array}{r} E (Y) = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \end{array}$

となります。

対数正規分布の分散の求め方

$V (Y) = E (Y^{2}) - (E (Y))^{2} = E (e^{2 X}) - (E (e^{X}))^{2}$ が成り立つことを用いることにします。

$\begin{aligned} E (e^{2 X}) & = \int_{- \infty}^{\infty} e^{2 x} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(x^{2} - (2 μ + 4 σ^{2}) x + μ^{2})}{2 σ^{2}}} d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(x - (μ + 2 σ^{2}))^{2} - (4 μ σ^{2} + 4 σ^{4})}{2 σ^{2}}} d x \\ = e^{2 μ + 2 σ^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 π σ^{2})^{1 / 2}} e^{- \frac{(x - (μ + 2 σ^{2}))^{2}}{2 σ^{2}}} d x \\ = e^{2 μ + 2 σ^{2}} \end{aligned}$

また、

$\begin{array}{r} (E (e^{X}))^{2} = e^{2 μ + σ^{2}} \end{array}$

なので、

$\begin{array}{r} V (Y) = e^{2 μ + 2 σ^{2}} - e^{2 μ + σ^{2}} \end{array}$

となります。

おまけ：連続複利が対数正規分布に従う場合

連続複利が正規分布に従っているとします。つまり、 $r \sim N (μ, σ^{2})$ です。

$1$ 円を1年間運用すると、 $e^{r}$ になります。このときのリターン $\frac{e^{r} - 1}{1}$ を $R$ と表すことにすると、

期待値は、

$\begin{array}{r} E (R) = E (e^{r} - 1) = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} - 1 \end{array}$

と計算できます。また分散については、

$\begin{array}{r} V (R) = V (e^{r} - 1) = V (e^{r}) = e^{2 μ + 2 σ^{2}} - e^{2 μ + σ^{2}} \end{array}$

と計算することができます。

おまけ2：確率密度関数を実際にみてみよう

確率変数 $X$ が平均 $μ$ 分散 $σ^{2}$ の正規分布に従うとします。

$Y = e^{X}$ の密度関数の分布をみてみましょう。

$σ = 0.2$ に固定して、 $μ$ を変化させたとき以下のようになります。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# フィギュアのサイズを設定
plt.figure(figsize=(16, 9))

# 対数の標準偏差
sigma = 0.2

# xの値の範囲
x = np.linspace(0.01, 20, 1000)

# 対数の期待値muの値を0, 1/4, 2/4, 3/4, 1と変化させる
mu_values = np.linspace(0, 4, 5)

# 各mu値に対して対数正規分布の密度関数をプロット
for mu in mu_values:
    # 対数正規分布の密度関数
    pdf = (1 / (x * sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-((np.log(x) - mu) ** 2) / (2 * sigma ** 2))
    # 密度関数をプロットする
    plt.plot(x, pdf, label=f'Log-normal PDF (mu={mu / 4})')

# グラフにタイトルとラベルを追加
plt.title('Log-normal Distribution for Various Mu')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()

# グラフを表示
plt.show()

また、 $μ$ を $0$ に固定して、 $σ$ を動かしたときの様子は以下のようになります。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# フィギュアのサイズを設定
plt.figure(figsize=(16, 9))

# 平均の対数
mu = 0.0

# xの値の範囲
x = np.linspace(0.01, 20, 1000)

# sigmaの値を0.1, 0.3, 0.6, 0.8, 1.0と変化させる
sigma_values = np.linspace(0.1, 1, 5)

# 各sigma値に対して対数正規分布の密度関数をプロット
for sigma in sigma_values:
    # 対数正規分布の密度関数
    pdf = (1 / (x * sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-((np.log(x) - mu) ** 2) / (2 * sigma ** 2))
    # 密度関数をプロットする
    plt.plot(x, pdf, label=f'Log-normal PDF (sigma={sigma:.1f})')

# グラフにタイトルとラベルを追加
plt.title('Log-normal Distribution for Various Sigma')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()

# グラフを表示
plt.show()

あわせて読みたい記事

あわせて読みたい

正規分布の積率母関数の計算と期待値の証明をわかりやすく解説積率母関数は、確率変数のモーメントを生成するための便利なツールです。特に、正規分布の場合、積率母関数は解析的に計算することが可能です。

あわせて読みたい

ガンマ分布の意味や性質と導出をわかりやすく解説ガンマ分布は、一定の発生確率をもつ独立なイベントが特定の回数発生するまでの待機時間が従う確率分布です。この分布は確率論や統計学における基本的なもので、その応用範囲は非常に広く、工学や経済学など多岐にわたります。この記事ではガンマ分布の意味や性質と導出をわかりやすく解説します。

あわせて読みたい

ケリー基準の導出をわかりやすく解説！！ケリー基準は、ある賭けの勝利確率、敗北時に失う金額、そして勝利した場合に得られる金額を基にして、その賭けに投じるべき資金の割合を計算します。この基準に従うことで、長期的に見て資金を効率的に増やすことができます。

あわせて読みたい

レバレッジ型ETFがなぜ逓減するかを数学的にわかりやすく解説レバレッジ型ETFには「逓減（decay）」と呼ばれる現象が存在し、これは長期投資におけるリスク要因となります。逓減とは、オリジナルの指標ではレンジでもとの価格に戻ってきているのに、レバレッジ型ETFの価格はもとの価格よりも低くなってしまう現象のことを指しています。この記事では逓減が発生する理由や原因を数学的に解説します。

あわせて読みたい

確実等価額とリスクディスカウント額の計算についてわかりやすく解説確実等価額（Certain Equivalent）とリスクディスカウント額（Risk Discount）は、投資や経済における重要な概念です。

あわせて読みたい

エクセルのソルバーで線形計画問題を解く方法をわかりやすく解説エクセルのソルバー機能を使用して線形計画問題を解く方法について説明します。線形計画問題は、限られたリソースを最適に配分し、行動を最適化するための強力なツールです。そして、エクセルのソルバー機能を使えば、これらの問題を簡単に解くことができます。

あわせて読みたい