確率ベクトルの2次形式の期待値の公式をわかりやすく証明！！

この記事では確率ベクトルの2次形式の期待値の導出をわかりやすく証明します。
ここで、$n$次確率ベクトルとは、確率変数$X_1,\dots ,X_n$を並べたベクトル
$$\begin{array}{r}x=(X_1,X_2,\dots ,X_n)\end{array}$$
のことです。
$(i,j)$成分が$\text{Cov}(X_i,X_j)$である$n$次正方行列を分散共分散行列$\mathrm{\Sigma }$といいます。

実際このことを証明してみましょう。
$$\begin{array}{r}z=x–\mu \end{array}$$
と表記することにしましょう。すると、
$$\begin{array}{r}x=z+\mu \end{array}$$
と表記することができます。$E(z)=E(x)–\mu =0$と期待値がゼロベクトルであることを覚えておきます。

$$\begin{array}{rl}E(x^{t}Ax)& =E((z+\mu {)}^{t}A(z+\mu ))\\ & =E(z^{t}Az)+2E({\mu }^{t}Az)+E({\mu }^{t}A\mu )\\ & =E(z^{t}Az)+2{\mu }^{t}AE(z)+{\mu }^{t}A\mu \\ & =E\left(\text{tr}\left(Az{z}^t\right)\right)+2{\mu }^{t}A0+{\mu }^{t}A\mu \\ & =\text{tr}\left(AE\left(z{z}^t\right)\right)+{\mu }^{t}A\mu \\ & =\text{tr}\left(A\mathrm{\Sigma }\right)+{\mu }^{t}A\mu \end{array}$$

ただし途中traceが出てくるところでは、下記の記事の命題を用いました。

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また、$E(z{z}^t)$は$E(z)=0$であることから、
$$\begin{array}{r}E(z{z}^t)=E((z-E(z){)}^t(z-E(z)))=\mathrm{\Sigma }\end{array}$$
であることを途中で用いました。