需要が指数分布に従う市場の在庫最適化問題の解き方を解説！！
この記事では需要が指数分布に従う市場の在庫最適化問題の解き方を解説します。 ある財は、1個あたりのコストが\(c\)円で、市場価格は\(p\)円で売れるとします。市場における需要を確率変数\(D\)とし、\(D\)は平均 […]
数学
128件の記事
ポアソン到着競争問題の有名問題である通勤競争問題の解き方をシンプルに解説！
いきなりだが、電車で、同僚とどちらが会社に早く着くかを競争することにする。自分と同僚は同じホームにいる。快速電車と普通電車がホームに到着する時間はそれぞれ、平均\(\frac{1}{\lambda_1}, \frac{1 […]
ワイブル分布のスケールパラメータの最尤推定量の求め方を解説！！
この記事ではワイブル分布のスケールパラメータ\(\theta\)の最尤推定の求め方を解説します。 まず定義ですが、パラメータ\(\theta, \tau\)のワイブル分布は、生存関数\(S(x) = P(X \geq x […]
確率変数のランダムな個数の和の積率母関数の導出を解説
この記事では、確率変数のランダムな個数の和の確率変数の、積率母関数の導出を解説します。確率変数のランダムな個数の和というのは、「確率変数を何個足し合わせるか」自体もあるランダムな確率変数に従っていると言うことです。例えば […]
2階層線形回帰モデルのIntraclass Correlation Coefficient
ICC(群内相関係数, Intraclass Correlation Coefficient)は単に同じクラスの 次のような2階層のモデルを考えます。\begin{align*} Y_{ij} = \mu + a_i + […]
信頼性理論における全信頼基準の導出をわかりやすく解説
この記事では信頼性理論における全信頼基準の導出をわかりやすく解説します。 全信頼基準(full credibility standard)とは、サンプル平均が、真の平均値から誤差\(k\)(割合です)以内に入る確率が\( […]
ベイズの定理において事後分布がガンマ分布っぽいなと思った時にやるべきこと1選
この記事ではベイズの定理において事後分布がガンマ分布っぽいなと思った時にやるべきこと(?)を解説します。 ベイズの定理\begin{align*} P(\theta \mid G) \propto P(G \mid \t […]
確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説
この記事では確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説します。確率変数\(X\)の生存関数は\begin{align*} S(x ) = P(X \geq x )\end{align*}により定義されます。 […]
Bühlmann信頼度をLMMSE推定量の観点から理解する
この記事では、Bühlmann信頼度をLMMSEの観点から理解します。LMMSEはLeast Minimum Mean Square Errorです。 次のような状況を考えます。ナイーブな書き方をしているので、読みながら […]
超指数分布のベイズ更新のやり方をわかりやすく解説！！
超指数分布のベイズ更新のやり方を解説します。超指数分布Hyperexponential distributionは、名前はまあサイヤ人みたいに強そうですが、定義はというと、単に指数分布の有限個の凸結合です。 パラメータを […]
推定量の一致性は「平均二乗誤差が収束するなら確率収束する」で確認した方が楽な時がある
推定量の一致性を確認するのは面倒くさいです。そこで、平均二乗誤差が\(0\)に収束することで一致性を確かめることにしましょう。よくある確認方法ですが、こっちの方が楽だったりします。 というのも、チェビシェフの不等式から\ […]
2つの独立なポアソン過程の競争問題をわかりやすく解説
2つの独立なポアソン過程の競争問題について解説します。2つの独立なポアソン過程\(\{A_t \}_t, \{B_t \}_t\)で強度がそれぞれ\(\lambda_a, \lambda_b\)であるものが存在するとしま […]
再保険関数空間上の最適化問題が2パラメータの最適化問題に退化する状況を解説
\(\mathcal{F}\)を再保険関数全体の集合\begin{align*}\mathcal{F} := \left\{ f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ \mid f \text{ […]
幾何分布の最尤推定量の導出をわかりやすく解説
幾何分布\(Geom(p)\)のパラメータ\(p\)の最尤推定量(MLE)を\(\hat p\)で表記することにすると、\begin{align*} \hat p = \frac{1}{\bar x + 1} \end{ […]
マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法
マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法を考えまーす。 離散的な状態が\(k\)個存在する状況を考えます。状態間の遷移は、遷移確率行列が\begin{align} P \end{align}に従う […]
ポアソン分布の希薄化(Thinning)をわかりやすく解説！！
この記事ではポアソン分布の希薄化(Thinning)をわかりやすく解説します。ポアソン分布の希薄化とは、 二項分布とポアソン分布を混合し、二項分布の試行回数のパラメータをポアソン分布に従うように設定することです。 実際に […]
ラデマッハ確率変数の定義・期待値・分散の導出をわかりやすく解説
この記事では、確率論や機械学習でしばしば登場するラデマッハ確率変数 (Rademacher Random Variable) の定義を確認します。 ラデマッハ確率変数の期待値 実際、\begin{align*} E(X) […]
補対数対数リンク関数の逆関数の導出
この記事では補対数対数リンク関数の逆関数を求めます。 対数を2回書いているのは誤植ではないです。complementary log-log link functionです。 \begin{align} g(x) = \l […]
対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説
この記事では、対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説します。 \begin{align*} X \sim LN(\mu, \sigma^2)\end{align*}とします。サンプルの平均を\(m\)と […]
正規分布のtail boundをわかりやすく解説
この記事では正規分布のtail boundの評価を解説します。 評価方法その1 \begin{align*} X \sim N(0,1)\end{align*}とします。\begin{align*} S(x) = P(X […]
一元配置分散分析(one-way ANOVA)をわかりやすく解説
この記事では、一元配置分散分析(one-way ANOVA)をわかりやすく解説します。適当にネットで調べてもあまりしっくりくる説明がなかったので、自分用の備忘録も兼ねています。前提知識としては、重回帰分析の線形代数による […]
累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解に書き直せることを解説
この記事では累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解として書き直せることを解説します。 12種類あるBurr型の分布は、\begin{align*} \frac{d}{dx} F(x) = F(x)(1 ̵ […]
順序統計量の最大値と最小値の累積分布関数の導出をわかりやすく解説！！
この記事では順序統計量の最大値と最小値の分布関数は簡単に求められることを解説します。 まず順序統計量の最大値と最小値というのは、確率変数\begin{align*} X_1, \ldots, X_n \end{align […]
線形回帰モデルの残差の分散共分散行列と単一データの残差の分線を導出する方法をわかりやすく解説
この記事では線形回帰モデルの残差の分散共分散行列を導出・証明する方法をわかりやすく解説します。 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon, \quad \varepsilon \s […]
線形回帰モデルのCase-Deletion公式の導出や証明をわかりやすく解説！！
この記事ではCase-Deletion公式をわかりやすく解説します。 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon\end{align*}という線形回帰モデルを考えます。 ここで、行列 […]
Sherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説
この記事ではSherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説します。 Sherman-Morrison-Woodburyの公式 証明は、直接計算が一番早いとおもいます。\begin […]
統計学の回帰分析におけるレバレッジの定義や性質をわかりやすく解説
この記事では回帰分析におけるレバレッジ(leverage)の定義をわかりやすく解説します。誤差項のある線形回帰モデル\begin{align*} y = X \beta + \varepsilon \end{align* […]
擬似逆行列により定義したハット行列は適切に直交射影であることを解説
この記事では、擬似逆行列によるハット行列の定義は適切に直交射影であることを解説最初に擬似逆行列の定義を確認しておきます。 線形回帰モデル\begin{align*} y = X \beta + \varepsilon \ […]
射影だが直交射影でない行列の例をわかりやすく解説
この記事では射影だが直交射影でない行列の例をわかりやすく解説します。有限次元ユークリッド空間\(\mathbb R^n\)上での話をします。 直交射影の定義も確認しておきましょう。 射影だが、直交射影ではない行列の例は、 […]
線形回帰モデルで制限付きモデルとの残差平方和の差がカイ二乗分布に従うことを証明！！！
この記事では線形回帰モデルで制限付きモデルとの残差平方和の差がカイ二乗分布に従うことを証明します。 線形回帰モデルの設定 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon, \quad \ […]
多変量標準正規分布の対称冪等行列による2次形式がカイ二乗分布に従うことの証明
この記事では多変量標準正規分布の対称冪等行列による2次形式が、冪等行列のランクを自由度とするカイ二乗分布に従うことを証明します。つまり主張は次のとおりです。 実際にこのことを確かめてみましょう。最初に\(P\)を対角化し […]
多変量標準正規分布の直交行列による変換も多変量標準正規分布であることの証明！！！
この記事では、多変量標準正規分布の直交行列による変換も多変量標準正規分布であることを証明します。 \(x\)を\(n\)次元の多変量標準正規分布に従うとします。つまり、\begin{align*} x \sim N(0, […]
線形回帰モデルにおいて全要素が1のベクトルがハット行列の不動点であることの証明
この記事では線形回帰モデルにおいて全要素が1のベクトルがハット行列の不動点であることの証明をします。全要素が1のベクトルを\begin{align*} e = (1, 1, \ldots, 1 )^t \in \math […]
指数分布の順序統計量の期待値の導出をわかりやすく解説！！
この記事では指数分布の順序統計量の期待値の公式の導出をわかりやすく解説します。\begin{align*} X_1, X_2, \ldots, X_n \sim Exp(\lambda), \text{i.i.d.}\e […]
線形回帰モデルの残差平方和RSSの期待値を導出する方法をわかりやすく解説！！
この記事では残差平方和RSSの期待値の導出をわかりやすく解説します。まず最初に残差平方和がなんであったかを確認しておきます。線形回帰モデル\begin{align*} y = X \beta + \varepsilon\ […]
確率ベクトルの2次形式の期待値の公式をわかりやすく証明！！
この記事では確率ベクトルの2次形式の期待値の導出をわかりやすく証明します。ここで、\(n\)次確率ベクトルとは、確率変数\(X_1, \ldots, X_n\)を並べたベクトル\begin{align*} x = (X_ […]
双線形形式をtraceによって表現するトリックをわかりやすく解説
この記事では双線形形式をtraceによって表現するトリックを説明します。ただし、この記事内で\(x, y \in \mathbb R^n\)の\(n\)次正方行列\(A \in M_n\)による双線形形式というと、\be […]
ハット行列のトレースが回帰係数の数と一致することの証明を超簡単に解説
この記事ではハット行列のトレースが回帰係数の数と一致することの証明を超簡単に解説します。ほぼ自明ですが。この事実は、残差平方和の期待値を求める上でクリティカルな役割を果たします。\begin{align*} y = \b […]
冪等行列Aはrankとtraceが一致することの証明をわかりやすく解説！！！
この記事では「冪等行列ならばrankとtraceが一致すること」の証明をわかりやすく解説します。冪等行列を\(A\)で表記することにします。 行列のtraceは、固有値の総和に一致することを思い出しておきます。冪等行列\ […]
冪等行列Aに対してrank(I-A)=dimKerAであることの証明
この記事では冪等行列Aに対して\(\textrm{rank}(I-A)=\textrm{dim} \textrm{ker}A\)であることを証明します。 まず\(n\)次正方行列\(A\)を冪等行列、つまり\begin{ […]
実対称な冪等行列の対角成分が0以上1以下であることの証明
この記事では実対称な冪等行列の対角成分が0以上1以下であることを証明します。 最初に冪等行列の定義を確認しておきます。正方行列\(A\)は、\begin{align*} A^2 = A \end{align*}を満たすと […]
標準的な条件下でスコア関数の期待値が0であることの証明
この記事では、標準的な条件下でスコア関数の期待値が0であることを証明します。 まず、スコア関数を定義します。確率変数\(X\)を、パラメータ\(\theta\)をもち、確率密度関数が\(f_X(\cdot; \theta […]
アーラン分布の生存関数を計算する方法を解説！！
アーラン分布の生存関数をポアソン分布から計算する方法を解説します。最初にアーラン分布を思い出しておきましょう。 生存関数\(S(x) = 1 – F(x)\)を計算してみましょう。素直に積分を計算する方法と、 […]
条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説！！！
この記事では条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説します。条件付き裾野期待値(Conditional Tail Expectation)と言っているのは、確率変数\(X\)に対して\begin{align*} E […]
ハザード関数から生存関数を復元する計算を解説
この記事ではハザード関数から生存関数を導出する方法を解説します。 このことを確かめてみましょう。ハザード関数とは、\(f\)を\(X\)の確率密度関数として、\begin{align*} h(x) = \frac{f(x […]
指数分布の確率密度関数との積分をする時の部分積分公式
この記事では、指数分布の確率密度関数との積分をする時の部分積分公式を解説します。よくある状況を考えるために、\(f(x) \in C^\infty\)とし、\(^\exists{N} \in \mathbb N\)\be […]
1/√(1+x^2)の積分の計算方法をわかりやすく解説
この記事では1/√(1+x^2)の積分の計算方法を解説します。つまり、\begin{align*} \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx \end{align*}の計算方法を解説します。余談で […]
2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説！！！
この記事では2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説します。 このことを実際に確かめてみましょう。 \(\{A_t \}_t, \{B_t \}_t\)それぞれ、1回目のイベントが発生するまでの時間は平 […]
指数分布の指数関数がパレート分布であることをわかりやすく解説！！！
この記事では、指数分布の指数関数がパレート分布であること、つまり、パレート分布の対数変換が指数分布であることを解説します。 パレート分布がなんだったかを思い出しておきます。最小値パラメータ\(x_m >0\)、形状パラメ […]
パラメータがガンマ分布のポアソン混合分布が負の二項分布である証明をわかりやすく解説！！！
この記事ではパラメータがガンマ分布のポアソン混合分布が負の二項分布である証明をわかりやすく解説します。 まず初めに、ガンマ分布とポアソン分布について思い出しましょう。 パラメータ\(\alpha , \beta\)のガン […]
標準正規分布をカイ二乗分布のルートで割るとt分布が導出できることの証明
この記事では、標準正規分布をカイ二乗分布のルートで割るとt分布が導出できることをわかりやすく解説します。 t分布を導出する前に、標準正規分布とカイ二乗分布を思い出しておきます。標準正規分は確率密度関数が\begin{al […]
指数分布の和がアーラン分布であることの証明をわかりやすく解説
この記事では指数分布の和がアーラン分布であることを証明します。 まずはじめに、アーラン分布について思い出しておきます。 次に、指数分布の確率密度関数を思い出すと、 次の事実を確認します。 このことは簡単に確認できます。平 […]
ポートフォリオの標準偏差の銘柄比率に関する勾配の求め方
この記事ではポートフォリオの標準偏差の重みに関する勾配を求めます。 \(X_1, \ldots, X_n\)を、標準偏差が\(\sigma_1, \ldots, \sigma_n\)である確率変数とします。\(w_1, […]
標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をわかりやすく解説！！！！
この記事では標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をします。 まず最初にカイ二乗分布の確率 ですので、 自由度\(1\)のカイ二乗分布の確率密度関数は、\begin{align*} f(x) = \b […]
一様分布の分散の求め方をわかりやすく解説
この記事では一様分布の分散の求め方を解説します。 実際に計算してみましょう。 一様分布\(U(a, b)\)の確率密度関数が\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a […]
二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説
この記事では二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説します。 このことを実際に確認してみましょう。\(X\)はパラメータ\(n, p\)の二項分布\(Bin(n, p)\)に従う確率変数ですので、 […]
二項分布の積率母関数の求め方をわかりやすく解説！！！
この記事では、二項分布の積率母関数(モーメント母関数)の求め方を解説します。 確率変数\(X\)の積率母関数とは、\begin{align*} M_{X}(t) = E(e^{tX}) \end{align*}により定義 […]
正規分布が再生性をもつことの証明をわかりやすく解説！！
この記事では、正規分布が再生性をもつことの証明をします。 \(X, Y\)をそれぞれ独立な正規分布\(N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)\)に従うとします。つまり、\be […]
ポアソン分布が再生性をもつことの証明をわかりやすく解説！！！
ポアソン分布の再生性、つまり独立なポアソン分布に従う確率変数の和もまたポアソン分布に従うことを証明します。 このことを証明してみましょう。\begin{align*} Z = X + Y \end{align*} という […]
生存関数から期待値を求める方法を解説！！！
今回は、生存関数を用いて確率変数の期待値を求める方法について詳しく解説します。数学的な導出だけでなく、直感的な理解や具体的な例も交えて説明していきます。 期待値は、生存関数の積分によって表現することができます。どういうこ […]
指数分布の中央値の求め方をわかりやすく解説！
指数分布は、連続確率分布の一種で、事象の発生間隔が独立かつ同一の確率で発生する場合に使用されます。この記事では、指数分布の中央値の求め方を解説します。 確率変数がパラメータが\(\lambda\)である指数分布に従うとは […]
確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説
確率変数の二乗の確率密度関数の求め方を簡単に解説します。 確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説 連続型の確率変数を想定しています。まず最初に、適当な確率変数\(X\)に対して、\begin{align* […]
多項式カーネルの性質・半正定値性や一次独立性の証明をわかりやすく解説
多項式カーネルの半正定値性と一次独立生の証明をわかりやすく解説します。
離散一様分布の期待値と分散の導出をわかりやすく解説
この記事では、離散一様分布の期待値と分散の導出をわかりやすく解説します。
「次の数列の一般項を求めよ」という問題が青少年の健全な育成を妨げる理由
小中高生向け数学の問題の中でも特に微妙なものの一つが、「次の数列の一般項を求めよ」という問題です。学生はしばしば、与えられた数列のパターンを見つけ、その一般項を導き出すよう求められます。しかし、この種の問題には答えが一意に定まらないという問題があります。
Σsin(nx)/nが各点収束することをわかりやすく解説！！！
$latex \sum \frac{\sin nx}{n}$という級数が各点収束することを証明します。
n次正方行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは一次独立であることの証明！！
n次正方行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは一次独立であることを証明します。
忠実関手と充満関手の定義をわかりやすく解説
関手の忠実性と充満性とは、射の集合に制限した時に単射および全射となる関手のことである。
三角関数のラプラス変換をわかりやすく解説！！
この記事では、sinやcosなどの三角関数のラプラス変換をわかりやすく解説します。
1/(x^3+1)の不定積分をわかりやすく解説
この記事では$latex \frac{1}{x^3 + 1}$の不定積分をわかりやすく解説します。
sinとcosの積の積分の解き方をわかりやすく解説！
三角関数の微分や積分を学習している途中で、三角関数の積を積分するような練習問題に遭遇することがあります。この記事ではそのような積分の計算方法を具体例とともにわかりやすく解説します。
xe^(x^2)の微分とマクローリン展開を計算する裏技をわかりやすく解説
この記事では$latex xe^{x^2}$の微分とマクローリン展開をわかりやすく解説します。大学1年生の微積分の講義でしばしば扱われる関数であるので、暇な人は確認しておきましょう。
e^{ax}とe^{bx}が一次独立であることの証明をわかりやすく解説！
この記事では、$latex a \neq b$であるとき、2つの指数関数$latex e^{ax}, e^{bx}$が一次独立であることを証明します。これを理解するためには、まず一次独立の定義から始め、次に関数空間における一次独立の概念を説明し、最後に実際の証明を行います。
1/(e^x+1)の積分計算を超簡単にわかりやすく解説！！
$latex e^x$や$latex e^{-x}$の積分を計算することは難しくないですが、$latex \frac{1}{e^x + 1}$の積分を計算するのは若干難しいのではないでしょうか。この記事では、この積分計算をわかりやすく解説します。
ポアソン分布とは？導出をわかりやすく解説
ポアソン分布はイベントの発生間隔が指数分布に従うと仮定したとき、一定の時間に発生するイベントの回数の分布を表現しています。この記事では、ポアソン分布の導出をわかりやすく解説します。
無記憶性をもつ連続型確率分布が指数分布のみであることを解説
無記憶性を有する連続型確率分布に関する重要な事実として、無記憶性を持つ連続型確率分布が指数分布のみであることを解説する。
(f(x))^xの微分の導出をわかりやすく解説
$latex (f(x))^x$の微分をどうやって計算するかを分かりやすく解説します。高校数学でこの微分を導出させられることは少ないでしょうが、大学生であれば1年生の微分積分の講義で扱うことは非常に多いでしょう。
行列のアダマール不等式の証明をわかりやすく解説
行列のアダマール不等式は正方行列の行列式と列ベクトルの積の関係を与える不等式です。
単射・全射・全単射の違いをわかりやすく解説
写像が単射・全射・全単射であるとはどういうことかについて、具体例を交えてわかりやすく解説します。大学数学の初めの段階では、関数や写像といった基本的な概念を学びますが、特に、単射であるか全射であるかということは非常に重要ですので、必ずマスターしておきましょう。
ガンマ分布の意味や性質と導出をわかりやすく解説
ガンマ分布は、一定の発生確率をもつ独立なイベントが特定の回数発生するまでの待機時間が従う確率分布です。この分布は確率論や統計学における基本的なもので、その応用範囲は非常に広く、工学や経済学など多岐にわたります。この記事ではガンマ分布の意味や性質と導出をわかりやすく解説します。
チェビシェフの不等式の証明をわかりやすく解説
チェビシェフの不等式は、確率変数が特定の値から離れている確率を評価する不等式です。確率論や統計学における基本的かつ重要な不等式です。
連続な加法的関数が線形関数に限ることの証明をわかりやすく解説
加法的関数に連続性を仮定すれば、線形関数に限ることを証明します。
行列の積が結合則を満たすことの証明をわかりやすく解説
行列の積が結合則を満たすことの証明をわかりやすく解説。数学の基礎である線形代数のうち、行列の積の性質は非常に重要です。今回は行列の積の性質のうち、結合側を証明します。
整数全体は実数全体の部分位相空間として離散位相空間であることの証明
整数全体は実数全体の部分位相空間として(相対位相をいれて)離散位相空間であることの証明をわかりやすく解説します。
二次形式の指数関数e^{ix^tAx}のフーリエ変換の証明
二次形式の指数関数e^{ix^tAx}のフーリエ変換の証明をわかりやすく解説します。このタイプの関数のフーリエ変換は、停留位相(定常位相)の方法において基本的な役割を果たします。
Farkasの補題の証明をわかりやすく解説
Farkasの補題を証明します。これは線形計画問題や最適化問題で重要な補題で、凸解析の分離定理を用いて証明します。
2回フーリエ変換が時間反転であることの証明
フーリエ変換を2回行うことは、時間を反転させる作用に一致します。これは、フーリエ変換された関数に再びフーリエ変換を行うことと、フーリエ逆変換を行うことの間の関係をみることにより簡単にわかります。
ヤングの不等式の証明と等号成立条件をわかりやすく解説
ヤングの不等式は、非負実数の積を評価する不等式で、ヘルダーの不等式の証明に用いられることから有名です。証明は対数関数の凸性からイェンゼンの不等式を使って証明します。ヤングの不等式の等号成立条件についても証明します。
デルタ関数が緩増加超関数であることの証明
デルタ関数は超関数として定式化されますが、緩増加超関数であることが示せます。
デルタ関数のフーリエ変換の証明をわかりやすく解説
この記事では、デルタ関数のフーリエ変換について説明します。
三角関数(sin・cos)の総和の公式をわかりやすく解説
三角関数(sin・cos)の総和の公式をわかりやすく解説します。
数列の平均・チェザロ平均の極限の証明をわかりやすく解説
チェザロ平均（チェザロへいきん、英: Cesàro mean, Cesàro average）とは、数列の最初の有限個の項から作られる算術平均のことです。数列の平均・チェザロ平均の極限についての命題をイプシロン・デルタ論法を用いてわかりやすく解説します。
σ有限な測度の定義・性質・例をわかりやすく解説
σ有限な測度の定義と性質と具体的な例について解説します。測度論の基礎を理解し、この重要な概念について深く知ることで、より高度な数学や関連分野への理解を深めることができるでしょう。さあ、測度論の世界へと一緒に足を踏み入れてみましょう。
微分演算子はエルミートではないが虚数単位iをかけるとエルミートになることの証明
微分演算子がエルミート演算子でない一方で、虚数単位$latex i$を掛けるとエルミート演算子に変わるという興味深い性質について解説します。この特性は数学だけでなく、量子力学の理解にも大きな影響を与えるため、科学や数学に興味がある方々にとって非常に重要な概念です。
(logx)^2の微分・積分・計算方法をわかりやすく解説
自然対数(log x)を二乗する関数(logx)^2の微分・積分・計算方法について、わかりやすく解説します。
ヘヴィサイド関数の微分がデルタ関数であることの証明
ヘヴィサイド関数の微分がデルタ関数であることの証明。特に信号処理や電磁気学において頻繁に遭遇する特殊な関数、ヘヴィサイド関数とデルタ関数についての理解を深めよう。
フーリエ変換で微分と掛け算が交換することの証明
フーリエ変換の性質のうち、微分と掛け算が交換することを証明します。 時間領域の微分演算子と周波数領域の乗法演算子が交換可能ということが証明されます。これはフーリエ変換が微分方程式を代数方程式に変換する助けになり、微分方程式の解析を容易にします。
微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明
微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明です。
フルラニ積分(Frullani Integral)の証明
フルラニ積分(Frullani Integral)の証明 証明 \begin{align*}F(t,x) = f(tx) \end{align*} と定めます。 \begin{align*} \frac{1}{x}F_1 […]
e^{-a|x|}のフーリエ変換を計算
e^{-a|x|}のフーリエ変換を計算 採用しているフーリエ変換に応じて適当に定数倍してください。 1次元におけるフーリエ変換 \(a > 0\) をパラメータとする\(\mathbb R\) 上の関数 \begi […]
1/zが正則であることの証明をわかりやすく解説
複素数値関数$latex \frac{1}{z}$が正則であることを証明してみましょう。
2階線型同次微分方程式(定数係数)の解き方をわかりすく解説
2階線型同次方程式、あるいは2階線型斉次方程式と呼ばれる微分方程式のうち、定数係数であるものの解き方について簡単に説明します。
外測度の定義と性質をわかりやすく解説
外測度(outer measure)は、集合論や測度論における重要な概念で、ある意味で集合の「大きさ」をはかるものです。以下に、外測度の基本的な定義と性質を述べます。
有界な集合の同相写像による像で有界でない集合の例
有界な集合の同相写像による像は有界な集合でしょうか。結論を先に述べると、反例があります。このことは、集合論や位相空間理論で一般的に扱われる話題です。
全単射ならば閉写像と開写像が同値であることの証明
全単射が閉写像であることと開写像であることは同値であることを示します。
無限級数∑1/(n^2-x) が収束するようなxの範囲
次の無限級数の収束を考えます。 \begin{align*} \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2 – x} \end{align*} この無限級数が収束する\(x\)の範囲を求め […]
片側フーリエ変換の閉複素半平面への連続な拡張
片側フーリエ変換の閉複素半平面への拡張について、一緒に探求してみましょう。さらに、その拡張がどのように振る舞うのか、そして零点がどのように分布するのかについても探求します。
L^pノルムの対数凸性の証明
$latex L^p$ノルムの対数凸性の証明をしてみましょう。
正則な行列は零因子でないことの証明
なぜ正則な行列が零因子でないのか、数学的に見ていきましょう。
L^1収束するならばフーリ変換が各点収束することの証明
$latex Ff(\xi)$の絶対値は、$latex f$の$latex L^1$ノルムに比例する定数で抑えられると言えます
測度が有限であればL^qならばL^p
測度が有限である場合、L^p空間とL^q空間の間には重要な関係が存在します。「測度が有限であればL^qならばL^p」というのは、測度が有限であるという条件のもとで、もし関数fがL^q空間に属しているならば、p ≤ q の場合、関数fは自動的にL^p空間にも属する、という意味です。これは、Holderの不等式と有限測度の性質から示されます。
p乗可積分とq乗可積分ならばr乗可積分である条件を証明
L^pかつL^qならばL^rとなる条件、(p乗可積分とq乗可積分ならばr乗可積分である条件)を証明します。これは、解析学や測度論における重要な結果であり、関数の性質を理解する上で基本的なツールとなっています。
トマエ関数の反対？有理数で連続で無理数で不連続な関数は存在するのか
トマエ関数は有理数において不連続である一方、無理数では連続であるという特徴的な性質をもつ関数です。この関数の存在が引き起こす疑問は、ある意味で反対な疑問「有理数で連続で無理数で不連続な関数は存在するのか？」というものです。
実数値関数の不連続点は閉集合の可算和であることの証明
実数値関数の不連続点は閉集合の可算和であることの証明をします。このことは、関数の連続性を深く理解する上でもしかすると重要です。
再生核ヒルベルト空間のデルタ関数による特徴づけ
再生核ヒルベルト空間（Reproducing Kernel Hilbert Space、RKHS）は、数学や統計学、機械学習、特にサポートベクターマシンやカーネル法などの分野で広く活用されています。この空間は、特定の性質を持つ核を備えたヒルベルト空間であるという意味で、特別です。
f(x, y) = yg(x)が原点で微分可能なこととg(x)が原点で連続なことは同値であることの証明
f(x, y) = yg(x)が原点で微分可能なこととg(x)が原点で連続なことは同値であることの証明
非正則な正方行列が零行列または零因子であることの証明
この記事では、非正則な正方行列が零行列または零因子であることを証明します。まず、いくつかの基本的な定義を整理し、その後で証明に進みます。
【線形代数】次元定理の証明と準同型定理の証明
本記事では、次元定理についての証明を紹介します。次元定理は数学の重要な定理の一つであり、線型写像の核と像の次元の関係を示しています。
定積分が定める関数はいつ連続関数になるか
定積分が定める関数の連続性について考えることは、関数の基本的な性質を理解する上で非常に重要なトピックです。この性質は、実解析における基本的な結果であり、微分積分学の理解にとっても鍵となります。
積のボレル集合体とボレル集合体の積はいつ一致するかについての証明
積のボレル集合体とボレル集合体の積は、確率論や測度論における重要な概念である。ここで、「積のボレル集合体」とは、ふたつの位相空間の直積上におけるボレル集合の族を意味し、「ボレル集合体の積」は、それぞれの空間のボレル集合体のある種の積として定義される。 これら二つの概念は、一般的には異なるが、特定の条件の下で一致する。それは、各位相空間が第二可算（second-countable）である場合である。
正規分布の積率母関数の計算と期待値の証明をわかりやすく解説
積率母関数は、確率変数のモーメントを生成するための便利なツールです。特に、正規分布の場合、積率母関数は解析的に計算することが可能です。
積分表示された複素関数の正則性について
この記事では、積分の形で表示されているような複素関数の正則性について紹介します。
テイラーの定理: 積分形の剰余項の証明をわかりやすく解説
テイラーの定理のうち、剰余項が積分の形になっているものを紹介しようとおもいます。
無限遠点で0に収束する連続関数が有界であることの証明
$latex \mathbb R$ 上で定義された無限遠点で0に収束する連続関数が有界であるという命題の証明を初心者向けに解説します。
e^{-x}は急減少関数でないがe^{-x^2}は急減少関数であることの証明
この記事では、$latex e^{-x}$や$latex e^{-x^2}$が急減少関数であるかどうかを検証してみます。
ピートルの不等式とその証明
ピートルの不等式(Pietro’s inequality)の主張とその証明を解説します。
斉次関数や同次関数の定義・性質を簡単解説
大学数学で登場する斉次関数・同次関数について簡単に解説。オイラーの定理の証明も書いてます。
重み付き幾何平均の極限と対数の重み付き算術平均との関係を証明
重み付き幾何平均の極限と対数の重み付き算術平均のあいだにある関係についての命題を証明します。